设 n阶方阵A满足A^2=3A，证明4E—A可逆，并求其逆矩阵。 设方阵A满足A²-A-2E＝0，证明A及A+2E都...

A^2-3A=0 <=> A^2-3A-4E=-4E <=> (A-4E)(A+E)=-4E
所以4E-A可逆，其逆阵是(A+E)/4

设n阶方阵满足A^2-3A-2E=0，证明A可逆，并求A的逆~

只需化简成：AA^(-1)=E的形式
A^2-3A-2E=0
等价于：A^2-3A=2E
A(A-3)=2E
A[(A-3)/2]=E
所以A可逆，且A的逆矩阵为：（A-3)/2

证明：
因为：
A²-A-2E=0
所以，上式化简为：
A(A-E)=2E
A [(1/2)(A-E)]=E
所以根据可逆阵的定义,得
A可逆,且:
A^(-1)=(1/2)(A-E);
而根据
A²-A-2E=(A+2E)(A-3E)-4E =0
可知：
(A+2E)[-1/4(A-3E)]=E
因此：
A+2E是可逆阵，且：
（A+2E）^（-1）=（-1/4)(A-3E)