设n阶方阵A满足下面三个条件：A的转置等于A；A的2次方等于A；A的行列式不等于0。证明：A是正定矩阵。
X^T * A * X = X^T * A^2 * X = X^T * A * A * X = X^T * A^T * A * X = (AX)^T * (AX)，令AX = Y = (y1, ..., yn)，
则：X^T * A * X = X^T * A^2 * X = Y^T * Y = y1^2 + ....... + yn^2 >= 0.
且 A 的行列式不为 0，根据 AX = Y，所以 X ≠ 0 => Y ≠ 0.
由 X 的任意性知道，A 为正定矩阵.
望采纳~~
因为A^T=A所以A是对称矩阵。
又因为A^2=A，所以A^2-A=〇。
用m_A (x) 表示A的最小多项式，则m_A （x）| （x^2 -x）
这说明A的特征值只可能是0或者1，又因为|A|≠0
所以A的特征值全为1，即特征值全为正数，所以A是正定矩阵。
n阶方阵的k次方的行列式等于n阶方阵的行列式的k次方，怎么证明啊？~
这个书上有对任意的方阵 A,B
|AB|=|A||B|
对于A的k次方，可以由归内法证明。
k=1时，有|A|=|A|是显然的
设k=n时成立，
即 |A^n|=|A|^n
那么当k=n+1时
|A^(n+1)|=|A^n * A| =|A^n||A|=|A|^n|A|
=|A|^(n+1)
也成立。
所以|A^k|=|A|^k
证毕
A的转置矩阵记为B、A的逆矩阵记为C、C的转置矩阵记为D
AC=CA=E
两边同时取转置
DB=BD=E
显然B（A的转置矩阵）的逆矩阵为D（C的转置矩阵）
而C就是A的逆矩阵。
已知n阶方阵A满足A^2-3A+2E=0,求证A相似于一个对角阵
答：题目给出的条件说明特征值只有1或2，且有n个线性无关的特征向量，所以A一定相似于对角阵。
如何判断一个n阶矩阵是实对称矩阵
答：1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。3.n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。4.若λ0具有k重特征值 必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。
设n阶非零方阵A满足A^2=0,证明A不能与任何对角阵相似
答：知识点: n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.证明: 因为 A^2=0 所以 A 的特征值只能是0.因为A≠0, 所以 r(A)>=1 所以 n-r(A)<=n-1 所以 A的属于特征值0的线性无关的特征向量至多有n-1个 所以A不可对角化, 即A不能与任何对角阵相似 ...
n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是什么?
答：n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。证明过程：（1）必要性 设有可逆矩阵P，使得 令矩阵P的n个列向量为 则有 因而 因为P为可逆矩阵，所以 为线性无关的非零向量，它们分别是矩阵A对应于特征值 的特征向量。（2）充分性。由必要性的证明可见，如果矩阵A有n个线性无关...
设a为n阶方阵,且满足a^2=a。证明:r(a-e)+r(a)=n,其中e是n阶单位矩阵...
答：因为A*A=A，所以A(A-E)=0；故A-E的每个列向量都是方程Ax=0的解；由于A-E中的列向量未必构成解空间的基，所以R(A)+R(A-E)小于等于n；又由R(A)+R(B)>=R(A+B)；可得R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)>=R(A+E-A)=R(E)=n；所以R(A)+R(A-E)=n。
设n阶矩阵A满足条件AA^T=4E,|A|>0,又|2E+A|=0,则必有一个特征值为?_百...
答：这题目问的是必有一个特征值，那就随便哪个都行，只要能找到，那我就说-2，因为|2E+A|=0能推出必存在特征值为-2。前面的条件只不过能算出|A|=2^n，不能说明其他任何问题。答案-2
如果一个n阶方阵A满足关系式A^3+A^2-A-E=0,你能判断A是否可逆?如果可逆...
答：A^3+A^2-A-E = O 即 A^3+A^2-A = E A(A^2+A-E) = E 则 A 可逆， A^(-1) = A^2+A-E
设n阶方阵A有n个互不同的特征值,证明AB=BA的充分必要条件是A的任意一个...
答：必要性如下:A可以对角化, A=S*L*S^-1 其中S是特征向量组成的矩阵, L是对角阵 AB=BA ===> S*L*S^-1*B = B*S*L*S^-1 ===> L*C = C*L 其中 C=S^-1*B*S 因为L是对角矩阵且每个元素都不相同, 很容易看出来C是必须是对角矩阵(你就乘进去,一个元素一个元素地对比)充分性...
矩阵A与B相似的充分必要条件是什么?
答：1、相似的定义为：对n阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使得P^(-1)AP=B,则称A、B相似.2、从定义出发,最简单的充要条件即是：对于给定的A、B,能够找到这样的一个P,使得：P^(-1)AP=B；或者：能够找到一个矩阵C,使得A和B均相似于C.3、进一步地,如果A、B均可相似对角化,则他们相似的充要...
判断对错:n阶矩阵A能对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量...
答：等式两边同时左乘（α1，α2 ... αn）^ -1，∴ （α1，α2 ... αn）^ -1 A（α1，α2 ... αn）= Λ，令可逆阵P为（α1，α2 ... αn），∴ P^-1AP=Λ，∴ A有n个线性无关的特征向量 → n阶矩阵A能对角化。综上所述，n阶矩阵A能对角化的充分必要条件为A有n个...
