设n阶方阵A满足A²=2A。证明A的特征值只能是0或2 设A为n阶方阵, 且满足A^2-3A+2E=0，证明A的特征...

证明: 设a是A的特征值

则a^2-2a 是 A^2-2A 的特征值

因为 A^2-2A = 0

所以 a^2-2a = 0

所以 a(a-2) = 0

所以 a=0 或 a=2

即A的特征值只能是0或2。

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在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。

成书最早在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。

矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。

证明: 设a是A的特征值
则a^2-2a 是 A^2-2A 的特征值
因为 A^2-2A = 0
所以 a^2-2a = 0
所以 a(a-2) = 0
所以 a=0 或 a=2.
即A的特征值只能是0或2.

设n阶方阵A满足A²=2A.证明A的特征值只能是0或2~

解答过程如下：
一方面A²-2A=0，故A²-2A的特征值只能是零；另一方面，若a为A的一个特征值，则A²-2a也是A²-2A的特征值；故A²-2A=0，故A只能为0或2。
所以A的特征值只能是0或2。



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方阵A可逆的充分必要条件有以下：
①|duA|≠0。并且当A可逆时，有A^-1=A*/|A|。zhi（A*是A的伴随矩阵，daoA^-1是A的逆矩阵）
②对于n阶矩阵A，存在n阶矩阵B，使AB=E（或BA=E），并且当A可逆时，B=A^-1。
③A可以经过有限次初等变化为单位矩阵。
④A可以表示为有限个初等矩阵的乘积。
⑤A可以只经过初等行变换化为单位矩阵E。

设A的特征值是a, 则a^2-3a+2 是 A^2-3A+2E 的特征值.
由已知 A^2-3A+2E = 0, 而零矩阵的特征值只能是零,
所以 a^2-3a+2 = 0, 即 (a -1)(a - 2) = 0. 所以 a=1 或 a = 2.
即 A的特征值只能是1或2.

若n阶方阵A满足A^2+A+E=0,证明A+2E为可逆矩阵,并求(A+2E)^-1
答：做带余除法 0 = A^2+A+E = A^2 + 2A - A - 2E + E = (A+2E)(A-E) + E 所以(A+2E)^{-1} = E-A

设N阶方阵A满足A的平方等于A,证明A或者是单位矩阵或者是不可逆矩阵...
答：证明 假定A可逆，其逆阵为B E=AB 两边同时乘以A得 A=AAB=AB 于是 A=E 故A或者不可逆，或者为单位阵E

设n阶方阵A满足A^2=3A,证明4E—A可逆,并求其逆矩阵。
答：A^2-3A=0 <=> A^2-3A-4E=-4E <=> (A-4E)(A+E)=-4E 所以4E-A可逆，其逆阵是(A+E)/4

设n阶方阵A满足Am=0,其中m是个正整数,求出En+A和En-A的逆矩阵
答：同楼上，认为Am表示A^m，也就是A的m次方，En表示n阶单位阵 A^m = 0 则 En - A^m = En, En + A^m = En 因为 En^m = En 下面就是a^m - b^m和a^m + b^m的展开式了 比如 En - A^m = En^m - A^m =(En - A)(En+A+A^2+...+A^{m-1}) = En 所以 En+A...

.设A为n阶方阵,且满足AA^T =E和|A|=-1,证明行列式|E+A|=0.
答：= |A||E-A^T| = |A||E-A| - (E-A^T)^T = E-A = |A| (-1)^(2n+1) |A-E| = -|A||A-E| 所以｜A-E|(1+|A|)=0 因为｜A|>0 所以，可得1+|A|≠0 所以，可得｜A-E| = 0。性质：1、若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+...

已知n阶方阵A满足A平方=0. 求证A-E可逆并求()A-E)^-1
答：A^2=0，A^2-E = -E，(A+E)(A-E) = -E (-A-E)(A-E) = E 所以 A-E 可逆，且 (A-E)^-1 = -A-E 。

已知n 阶方阵a 满足a 的平方十2a十4e=0,证明(a十e)可逆
答：∵(a+e)^2=a^2+2a+e=-3e，两边取行列式得[det(a+e)]^2=(-3)^n≠0，∴det(a+e)=0，故a+e可逆。

设n阶方阵A满足A^2+A-4E=0求证A-E可逆 看了很多你的解答方法 但是不知 ...
答：A^2 + A - 4E = A^2 - A + 2A - 4E = A(A-E) + 2(A-E) - 2E = A(A-E) + 2E(A-E) - 2E = (A+2E)(A-E) - 2E = 0 可以得到 (A+2E)(A-E) = 2E 所以 A-E 可逆，且其逆阵为 (A+2E)/2

设A为n阶方阵,满足AA^T=E,且|A|=-1,证明|E+A|=0
答：A显然是正交矩阵，因此特征值只能有1或-1 又因为|A|=-1，因此特征值肯定有-1（否则的话，所有特征值都是1，其乘积也即行列式|A|=1，而不是-1）从而A+E必有特征值-1+1=0 则|A+E|=0 或：|A+E|=|A+AA'|=|A(E+A')|=|A||E+A'|=-|E+A'|=-|A+E|，则|A+E|=0-|E+...

设n阶方阵A满足A*A-A+E=0,证明A喂可逆矩阵
答：汗啊，是平方啊………我以为是伴随呢………A²-A+E=0 E=A-A²=A(E-A)(E-A)A=A-A²=E 所以A可逆，逆矩阵是E-A