设n阶方阵A满足(A+E)3=0,证明矩阵A可逆,并写出A逆矩
A(A^2+3A+3E)=-E
所以A可逆,A^-1=-(A^2+3A+3E)
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若n阶方阵A满足A^2+A+E=0,证明A+2E为可逆矩阵,并求(A+2E)^-1
答：做带余除法 0 = A^2+A+E = A^2 + 2A - A - 2E + E = (A+2E)(A-E) + E 所以(A+2E)^{-1} = E-A
线性代数特征值 设n阶方阵A满足A^2-3A+2E=0(E为单位矩阵),求A得特征...
答：设a是A的任一一个特征值,则a^2-3a+2=0,从而a=1或2.进而A的特征值为1和2.
设n阶实方阵A满足A^2-4A+3E=0,证明 B=(2E-A)^T(2E-A)是正定矩阵
答：因为 A^2-4A+3E=0 所以 A(A-2E)-2(A-2E)-E=0 所以 (A-2E)(A-2E)=E 所以A-2E可逆 所以2E-A可逆 所以B=(2E-A)^T(2E-A)是正定矩阵 --正定<=>合同于单位矩阵
设a为n阶方阵,且满足a^2=a。证明:r(a-e)+r(a)=n,其中e是n阶单位矩阵...
答：因为A*A=A，所以A(A-E)=0；故A-E的每个列向量都是方程Ax=0的解；由于A-E中的列向量未必构成解空间的基，所以R(A)+R(A-E)小于等于n；又由R(A)+R(B)>=R(A+B)；可得R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)>=R(A+E-A)=R(E)=n；所以R(A)+R(A-E)=n。
已知n阶方阵A满足A平方=0. 求证A-E可逆并求()A-E)^-1
答：A^2=0，A^2-E = -E，(A+E)(A-E) = -E (-A-E)(A-E) = E 所以 A-E 可逆，且 (A-E)^-1 = -A-E 。
设n阶方阵A满足方程A^2-2A+3E=0,证明:A与A-E都是可逆矩阵,并求A^-1和...
答：A(A-2E)=-3E，得A(-A/3+2E/3)=E，可知，A可逆，闻为(-A/3+2E/3)同样，（A-E）(A-E)=-2E，得(A-E)(-A/2+E/2)=E，逆为(-A/2+E/2)
已知n阶方阵A满足 A^2-3A+E=0,证明:A-E可逆并求出(A-E)^-1
答：解：A^2-3A+E=0 (A-E)(A-2E)=A^2-3A+2E=A^2-3A+E+E=E A-E的逆矩阵为A-2E
n阶可逆矩阵的几个定理?
答：A是可逆矩阵的充分必要条件是︱A︱≠0（方阵A的行列式不等于0）。给定一个 n 阶方阵 A，则下面的叙述都是等价的：A 是可逆的。A 的行列式不为零。A 的秩等于 n（A 满秩）。A 的转置矩阵 A也是可逆的。AA 也是可逆的。存在一 n 阶方阵 B 使得 AB = In。存在一 n 阶方阵 B 使得 BA...
若n阶方阵A满足A^2-2A+3E=0,则矩阵A可逆,且A的逆矩阵为多少? A(A-2...
答：A(A-2E)=-3E A[-1/3(A-2E)]=E 所以A逆矩阵为-1/3(A-2E).
A,B均为n阶方阵,且A(B-E)=0,则为什么有|A|=0或|B-E|=0?
答：A(B-E)=0(矩阵)可以得到|A(B-E)|=0 再由矩阵的运算性质,有|A||(B-E)|=|A(B-E)|=0 于是|A|=0或|B-E|=0
