设A是n阶方阵，满足A*A-A-2i=0,证明A-2i与A+i不同时可逆 证明题: 设n阶方阵A满足A平方-A-3I=0，求证A-2I...

A*A-A-2i=0也就是(A-2I)(A+I)=0
取行列式得|A-2I||A+I|=0
也就是|A-2I|、|A+I|中必有一个为0
那就不可逆了

A*A-A-2i=0
=>(A+i)(A-2i)=0
令B=(A+i)(A-2i),显然B为n阶零矩阵。
所以，det(B)=det(A+i)det(A-2i)=0
于是，det(A+i)，det(A-2i)不能同时非零，
即A-2i与A+i不同时可逆

A*A-A-2i=0也就是(A-2I)(A+I)=0
取行列式得|A-2I||A+I|=0
也就是|A-2I|、|A+I|中必有一个为0
那就不可逆了
||为行列式。

注:
i
应该写成大写的i,
但看起来象1,
也可以记为e.
解:
因为
a^2+a-3e=0
所以
a(a-2e)+3(a-2e)+3e=0
即有
(a+3e)(a-2e)
=
-3e.
所以
a-2e
可逆,
且
(a-2e)^-1
=
(-1/3)(a+3e).

若n阶矩阵满足a∧2-a-2i=0,证明:a、a+2i均可逆,并求逆矩阵。~

a^2 -a -2i=0
那么得到
a(a-i)=2i
即a(a/2 -i/2)=i
所以a可逆，逆矩阵为a/2 -i/2
同理(a+2i)(a-3i)=4i
即(a+2i)(a/4-3i/4)=i
所以a+2i可逆，逆矩阵为a/4 -3i/4

A^2 -A -3I=0
于是得到
(A-2I)(A+I) -I=0
即(A-2I)(A+I)=I
那么取行列式即|A-2I| 和|A+I|都不等于0
所以A-2I和A+I都是可逆的矩阵

设A为n阶方阵,且R(A)=n-1,A*为矩阵A的伴随矩阵,求证∶存在常数k,使(A...
答：R(A)=n-1 => |A|=0 =>AA*=|A|E=0 又因为R(AA*) 》R(A)+R(A*)-n 因此R(A*)《 1 有因为R(A)=n-1，即至少有一个n-1阶子式不等于0，即R(A*) 》1 所以R(A*)=1 =>A*=(a1,a2,...an)^T(b1,b2,...bn) (即A能表示成一个行向量乘以列向量)=>(A*)^2=...

.设A为n阶方阵,且满足AA^T =E和|A|=-1,证明行列式|E+A|=0.
答：= |A||E-A^T| = |A||E-A| - (E-A^T)^T = E-A = |A| (-1)^(2n+1) |A-E| = -|A||A-E| 所以｜A-E|(1+|A|)=0 因为｜A|>0 所以，可得1+|A|≠0 所以，可得｜A-E| = 0。性质：1、若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+...

设n阶方阵A满足A^2=A,则A与A-E不同时可逆。请问为什么?
答：A是可逆矩阵的充分必要条件是︱A︱≠0（方阵A的行列式不等于0）。若A²=A，那么A²-A=0，即A（A-E）=0；所以A与A-E中必有一个为零矩阵，即他们不能同时可逆。为什么A(A-E)=0,则|A(A-E)|=0?因为A(A-E)=0 两边同时取行列式：所以|A(A-E)|=|0|=0 欢迎追问 ...

请判断:A为n阶方阵,则A-At(转置记号t)是反对称矩阵吗 求大神给出过程...
答：是，(A-A')'=A'-(A')'=A'-A=-(A-A')，所以A-A'是反对称矩阵。ps：以 ' 代表转置。

如果一个n阶方阵A满足关系式A^3+A^2-A-E=0,你能判断A是否可逆?如果可逆...
答：A^3+A^2-A-E = O 即 A^3+A^2-A = E A(A^2+A-E) = E 则 A 可逆， A^(-1) = A^2+A-E

设A为n阶方阵,证明:(1)若A^2=A,则r(A)+r(A-E)=n (2)若A^2=E,则r(A...
答：这里边用到两个结论：r(A+B)<=r(A)+r(B)对任意的n阶方阵A，B成立。若AB=0，则r(A)+r(B)<=n，其中A，B是n阶方阵。第一个不等式在任何线代数上都有。第二个一般的也有，你也可以自己证明。1、A(A-E)=0，于是n>=r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)>=r(A+E-A)=r(E)=n。

若A 为n级方阵,I 为n级单位阵,且A-I的行列式小于1 证明A可逆. 急需...
答：（矩阵的谱半径是矩阵模最大的特征值的模）证明 设a是A的任意特征值，x是相应特征向量，则 Ax=ax,故 (A-I)x=(a-1)x, a-1是A-I特征值，由A-I的谱半径小于1，故模 ｜a-1｜<1,于是a不等于零，由a的任意性，可知A是可逆的。将矩阵A-I谱半径小于1改为矩阵A-I任意范数小于1结论仍...

设A为n阶方阵,且A^2-A=2I,证明:R(2I-A)+R(I+A)=n
答：这是一个普遍的结论。今描述如下：A,B都是n阶方阵，AB=0，则r(A)+r(B)<=n。证明如下：设B=(b_1,b_2,…,b_n)，b_1,b_2,…,b_n为矩阵B的列向量组。有AB=(A*b_1,A*b_2,…A*b_n)=(0,0,…,0)，即b_1,b_2,…,b_n均为齐次方程Ax=0的解。则b_1,b_2,…,b_...

n阶方阵A满足A的平方等于A,请利用矩阵的满秩分解证明A的秩加A-E的秩...
答：证明中要用到两个关于矩阵秩的很有用的结论：（1）r(A+B)≤r(A)+r(B)，（2）如果AB=O，则r(A)+r(B)≤n（A,B都是n阶方阵）。根据第一个结论，r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n，即r(A)+r(E-A)≥n，根据第二个结论，由于A^2=A，则A(A-E)=O...

n阶方阵A满足A的平方等于A,请利用矩阵的满秩分解证明A的秩加A-E的秩...
答：A^2=A ->A(A-E)=0 所以r[A(A-E)]≥r(A)+r(A-E)-n r(A)+r(A-E)≥r(A-A+E)所以r(A)+r(A-E)=n 也可以用分块矩阵做