设有连续函数f(x)满足∫f(tx)dt(从0到1)=f(x)+xsinx,求f(x)。 设∫f(tx)dt=f(x)+sinx，求连续函数f(x),...
则∫f(tx)dt(从0到1)=∫f(u)d(u/x)(从0到x)=(1/x)∫f(u)du(从0到x)
带入原方程∫f(u)du(从0到x)=xf(x)+x^2sinx
两边微分 f(x)=f(x)+xdf(x)/dx+2xsinx+x^2cosx
df(x)/dx=-2sinx-xcosx
求积分f(x)=cosx-xsinx+C
求证连续函数f(x)满足:∫(0到1)f(tx)dt=f(x)+xsinx~
Let u = tx，du = x dt
L = ∫(0~1) ƒ[tx] dt
= [1/x]∫(0~x) ƒ[u] du = ƒ[x] + xsinx
∫(0~x) ƒ[u] du = xƒ[x] + x²sinx
ƒ[x] = xƒ'[x] + ƒ[x] + 2xsinx + x²cosx
ƒ'[x] = - 2sinx - xcosx
ƒ[x] = cosx - xsinx + C
题目修正：∫[0，1] f(tx) dt = f(x) + xsinx
令u = tx，du = xdt => dt = du/x
当t = 0，u = 0；当t = 1，u = x
∫[0，1] f(tx) dt = (1/x)∫[0，x] f(u) du = f(x) + xsinx
∫[0，x] f(u) du = xf(x) + x²sinx，两边求导
d/dx ∫[0，x] f(u) du = d/dx xf(x) + d/dx x²sinx
f(x) = xf'(x) + f(x) + x²cosx + 2xsinx
xf'(x) = -x²cosx - 2xsinx
f'(x) = -xcosx - 2sinx
f(x) = -∫ xcosx dx - 2∫ sinx dx
= -∫ x d(sinx) - 2∫ sinx dx
= -xsinx + ∫ sinx dx - 2∫ sinx dx
= -xsinx - ∫ sinx dx
= -xsinx + cosx + C
设有连续函数f(x)满足∫f(tx)dt(从0到1)=f(x)+xsinx,求f(x).
答：简单分析一下，答案如图所示
函数f(x)连续,且x=∫ f(t)dt 积分上限是(x^3 )-1 下限是0 ,求f(7)
答：我们可以将定积分（x=∫ f(t)dt 积分上限是(x^3 )-1 下限是0）两边求导 得到1= f(x^3-1)*3x 那么当x=2时 得到1=f(7)*6 所以f（7）=1/6
设f(x)为连续函数,且满足∫f(t-x)dt=-(x²/2)+e^(-x)-1,积分下限是...
答：详细过程如图，希望能帮到你解决你心中的问题
设f(x)为(-∞,+∞)内的连续函数,且满足f(x)=∫f(t/2)dt+1,求f(x...
答：简单计算一下即可，答案如图所示
求证连续函数f(x)满足:∫(0到1)f(tx)dt=f(x)+xsinx
答：Let u = tx，du = x dt L = ∫(0~1) ƒ[tx] dt = [1/x]∫(0~x) ƒ[u] du = ƒ[x] + xsinx ∫(0~x) ƒ[u] du = xƒ[x] + x²sinx ƒ[x] = xƒ'[x] + ƒ[x] + 2xsinx + x²cosx ƒ'[x] ...
fx是连续函数,且满足 ∫0到x f(t)dt=∫x到1 t^2 f(t)dt +x^16/8+x^...
答：∫0到x f(t)dt=∫x到1 t^2 f(t)dt +x^16/8+x^18/9，两边求导得：f(x)=-x^2f(x)+2x^15+2x^17 f(x)=(2x^15+2x^17)/(1+x^2)=2x^15
若连续函数满足关系式f(x)=∫f(t/2)dt+ln2.积分区域0~2x则f(x)=?要...
答：两边求导有 f^{\prime}(x)=2f(x)解这个微分方程有(分离变量法)f(x)=Ce^{2x} 注意到 f(0)=ln2 = C 所以$f(x)= ln2\cdot e^{2x}
设f(x)为连续函数,且满足∫(上x^3-1,下0)f(t)dt=x,则f(7)=
答：g(x^3-1)-g(0)=x y=x^3-1,得x=（y+1）^(1/3)所以,g（y）=（y+1）^(1/3)+g(0)f(y)=g'(y)=1/3（y+1）^(-2/3)7带入.f(7)=1/12
已知连续函数 f(x)满足f(x)=∫[3x,0] f( t/3)dt+e^2x,求f(x)
答：d/dx ∫{0,3x} f(t/3)dt = f(3x/3) d(3x)/dx - f(0/3) d0 /dx + ∫{0,3x} df(t/3)/dx dt = 3f(x)。故对原等式两边同时对x求导可得 3f(x) + 2e^(2x) = f'(x)。令y = f(x)，有 y' - 3y = 2e^(2x)。这是一个一阶线性非齐次常微分方程，可用公式求...
设f(x)=x+2∫f(t)dt,积分上限是1,下限是0 其中f(x)为连续函数,求f...
答：因为∫f(t)dt,积分上限是1，下限是0 是个常数，对吧 所以设A=∫f(t)dt,积分上限是1，下限是0 则f(x)=x+A A=f(x)-x 所以 f(x)=x+2∫f(t)dt =x+2∫(t+A)dt =x+2*(t^2/2+At)(1,0)=x+2*(1/2+A)=x+1+2A =x+1+2(f(x)-x)=x+1+2f(x)-2x =2f(x)...
