设f(x)是连续函数,且满足∫[0,x]f(x-t)dt=e^(-2x)-1,求定积分∫[0,1]f(x)dx

∫[0,x] f(x-t)dt=∫[0,x]f(x-t)d(t-x)=-∫[0,x]f(x-t)d(x-t)
取u=x-t t=0,u=x,t=x,u=0
=-∫[x,0]f(u)du
=∫[0,x]f(u)d(u)
=e^(-2x) -1
∫[0,1]f(x)dx=e^(-2)-1

~

设连续函数f(x)满足f(x)=sinx+1-∫[-1到1]f(x)dx,求f(x)
答：∫<-1,1>f(x)dx为定积分，是一个常数，设其为A，则原式为：f(x)=sinx+1-A 对上式两边定积分得到：∫<-1,1>f(x)dx=∫<-1,1>(sinx+1-A)dx ==> A=∫<-1,1>sinxdx+∫<-1,1>(1-A)dx ==> A=0+(1-A)x|<-1,1> ==> A=2(1-A)=2-2A ==> A=2/3 所以，...

【高等数学/高数/微分】若函数f(x)连续且满足关系式f(x)=1+∫_0^2x...
答：简单计算一下即可，答案如图所示

设函数F(X)连续且满足F(X)=X+∫[x,1]F(x-t-1)dt,求F(x...
答：在积分中,只能令x-t-1=u;dt=-du,...,积分限再相应变为：下线x变成-1,上限1变成了x-2,化为：F(X)=X-∫[-1,x-2]F(u)du,以后傻子都会了.你写错了吧,上限应该是-1?

若函数f(X)是连续函数,且满足
答：求导然后套公式

设f(x)为(-∞,+∞)内的连续函数,且满足f(x)=∫f(t/2)dt+1,求f(x...
答：简单计算一下即可，答案如图所示

设函数f(x)在[0,1]上连续,且满足f(x)=x^2-3x∫f(t)dt(上限为1,下限为0...
答：对f(x)求导得到f '(x)=2x -3∫(上限1，下限0) f(t) dt 设∫(上限1，下限0) f(t) dt= C，C为常数，则f(x)= x^2 -3Cx 于是 ∫(上限1，下限0) x^2 -3Cx dx = (x^3)/3 -3C/2 *x^2，代入上下限1和0 =1/3 -3C/2 =C 解得C=2/15 所以f(x)=x^2 - 2x/5 ...

设f(x)为连续函数,且满足设f(x)=x+∫(0,1)xf(x)dx,求f(x)
答：积分为定积分，只能得到一个常数C f(x)=x+C 代入积分 f(x)=x+∫(0，1)x(x+C)dx=x+1/3+1/2*C 从而1/3+1/2*C=C C=2/3 f(x)=x+2/3

,设f(x)是连续函数,且f(x)=x+2∫[1,0]f(t)dt ,则∫[1,0]f(x)dx=?
答：记积分为A,f(x)=x+2A,两边求定积分得：A=1/2+2A,A=-1/2

设连续函数f(x)满足,f(x)=1+x^2∫(0→1)f(x)dx,求f(x)=
答：f(x)=1+x²∫(0→1)f(x)dx 令∫(0→1)f(x)dx=C (定积分的结果是常数)f(x)=Cx²+1 ∫(0→1)f(x)dx=∫(0→1)[Cx²+1]dx=⅓Cx³+x|(0,1)=⅓C+1 即C=⅓C+1→C=1.5 f(x)=1+1.5x²

若函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,且满足f(x)+2∫[0,x]f(t)dt=x^2,求f...
答：求导得:f'+2f=2x 通解为:f=e^(-2x)(C+∫2xe^(2x)dx)=e^(-2x)(C+2xe^(2x)-2e^(2x)).由于f(0)=0,代入得C=2 f=e^(-2x)(2+2xe^(2x)-2e^(2x)).