证明函数f(x)在闭区间[a,b]上连续。

罗尔定理可知。

fa=fb时，存在某点e，使f′e=0。

开始证明拉格朗日。

假设一函数f(x)。

目标：证明fb-fa=f′e(b-a)，即拉格朗日。

假设fx来做成一个毫无意义的函数，fx-(fb-fa)/(b-a)*x，我们也不知道他能干啥，是我们随便写的一个特殊函数，我们令它等于Fx。

这个特殊函数在于，这个a和b，正好满足Fb=Fa，且一定存在这个a和b。

此时就有罗尔定理的前提了。

于是得出有一个e，能让F′e=0(罗尔定理)

即(fx-(fb-fa)/(b-a)*x)′，

上面求导等于f′x-(fb-fa)/(b-a)。

将唯一的x带换成e，并且整个式子等于0。

变成f′e-(fb-fa)/(b-a)=0→

f′e=(fb-fa)/(b-a)→

f′e(b-a)=(fb-fa)。

扩展资料

证明过程

证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。

另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。

几何意义

若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。

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函数f在闭区间[ a, b]上连续但无零点为什么
答：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)乘f(b）＜0，那么，函数y=f(x)在区间（a,b)内有零点，即存在c∈（a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。定理（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)×...

f(x)在闭区间a,b上连续的具体意思?
答：即：f(x)这个函数在x大于等于a小于等于b的时候，其函数图像为连续的图像，换句话说就是当x大于等于a小于等于b的时候x取任意值，f(x)都有对应的值。

设函数F(X)在闭区间[a b]上连续,在(a,b)内可导,
答：简单分析一下，详情如图所示

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且x1,x2...xn为此区间中的任意值,证...
答：可以考虑介值定理 答案如图所示

证明:若函数f(x)在[a,b]连续,则函数f(x)在[a,b]取到最小值。
答：因为是闭区间，f(x)在[a，b]连续，所以f（x）在x=a点处有定义，在x=a点处连续，先假设f（a）为函数最小值，因为函数连续，所以函数在[a，b]上有界，如果存在一点ε∈[a，b]，使f（ε）<f（a），则函数在x=ε处取得最小值，即函数f(x)在[a，b]必取到最小值。

为什么f(x)在闭区间a,b 内可导 则在a b 上只能够单侧可导,这不是不符合...
答：2、你的题设里，闭区间就已经是单侧区间了，也就是说，形如[a,b]的区间，x=a的情况只能是x→a+和x→b- 3、如果是开区间(a,b)，显然x=a是没有意义的，因为函数没有定义，从极限理论出发，(a,b)可导，定义的是a<x<b内任意的点可导，并没有定义x=a和x=b处可导，这是和[a,b]最大...

罗尔定理中 f(x)在闭区间[a,b]连续 这个条件为什么不能去掉?
答：罗尔定理 如果函数f(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间（a,b)内可导；(3)在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b),那么在（a,b)内至少有一点ξ（a<ξ<b),使得f'(ξ)=0.第一个条件和第三个条件是相辅相成，互相约束的，如果没有第一个条件，就像下面这种情况（不...

设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义,在开区间(a,b)内可导,则
答：正确的，详情如图所示

闭区间连续函数性质证明题:设f(x)在[a,b]上连续,a<c<d<b,p和q为正常...
答：因为f(a)p/(p+q)+f(b)q/(p+q)是f(a),f(b)的加权平均值，不妨设f(a)<=f(b),则有平均值在两数之间，有f(a)<=f(a)p/(p+q)+f(b)q/(p+q)<=f(b),因为函数f(x)在[a,b]连续，由连续函数的介值性定理，在[a,b]内必有某c，使 f(c)=f(a)p/(p+q)+f(b)q/...

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)<a,f(b)>b,证明在开区间(a,b...
答：构造函数g(x)=f(x)-x 则g(a)=f(a)-a<0 g(b)=f(b)-b>0 所以在（a,b）上必存在一点x，使得g(x)=0 即f(x)-x=0 f(x)=x