设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且x1，x2...xn为此区间中的任意值，证明存在c？ 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,a<x1<x2<b,...

可以考虑介值定理

答案如图所示

f（x）连续，所以在区间[a,b]必有最大值和最小值，不妨设最大值为M最小值为m
则m≤f（xi）≤M
因此m≤1/n (f（x1)+……+f(xn）)≤M
由连续函数介值定理知，存在c属于[a,b]使得
f(c)=… 证毕。

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，a<x1<x2<…<xn<b,证明：至少存在一点p∈［x1~

可以考虑介值定理
答案如图所示

证：(1)当f(x1)=f(x2)时，显然当ξ=x1 或 x2 时 f(ξ)=[f(x1)+f(x2)]/2 满足题意
（2）当f(x1)不等于f(x2)时，不妨设f(x2)>f(x1),
则 f(x1)< [f(x1)+f(x2)]/2 <f(x2)
由介值定理值在（x1,x2）内存在一个ξ，使得 f(ξ)=[f(x1)+f(x2)]/2
综上所述，在[x1,x2]上必有ξ,使得 f(ξ)=[f(x1)+f(x2)]/2

设函数F(X)在闭区间[a b]上连续,在(a,b)内可导,
答：简单分析一下，详情如图所示

f(x)在闭区间[ a, b]连续,为什么?
答：因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M和m表示，分两种情况讨论：1. 若M=m，则函数f(x)在闭区间[a,b]上必为常数，结论显然成立 2. 若M>m，则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条...

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(x)>0,则方程∫xaf(t)dt+∫xb1f...
答：解； 设F(x)＝∫xaf(t)dt+∫xb1f(t)dt，则F（x）在x∈[a，b]连续，并且F(a)＝∫ab1f(t)dt，F(b)＝∫baf(t)dt而f（x）＞0，x∈[a，b]∴F（a）＜0，F（b）＞0∴根据零点定理有，至少存在一点ξ∈（a，b），使得：F（ξ）=0又F′(x)＝f(x)+1f(x)＞0，x∈[...

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,a<x1<x2<b,证明在[x1,x2]上必有ξ...
答：（2）当f(x1)不等于f(x2)时，不妨设f(x2)>f(x1),则 f(x1)< [f(x1)+f(x2)]/2 <f(x2)由介值定理值在（x1,x2）内存在一个ξ，使得 f(ξ)=[f(x1)+f(x2)]/2 综上所述，在[x1,x2]上必有ξ,使得 f(ξ)=[f(x1)+f(x2)]/2 ...

如果f(x)在闭区间[ A, B]连续,那么
答：1、f(x)在[a，b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；2、f(x)在内(a，b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在；3、f(a)=f(b)表明曲线的割线(直线AB)平行于x轴；罗尔定理的结论的直几何意义是：在(a，b)内至少能找到一点ξ，使f’(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线...

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)<a,f(b)>b,证明在开区间(a,b...
答：构造函数g(x)=f(x)-x 则g(a)=f(a)-a<0 g(b)=f(b)-b>0 所以在（a,b）上必存在一点x，使得g(x)=0 即f(x)-x=0 f(x)=x

函数f(x)在闭区间[a,b]上严格单调且连续,f(a)=A,f(b)=B,证明f([a,b...
答：B]，定义g(x)=f(x)-y0，则g(a)<=0,g(b)>=0,由介值定理知存在x0∈[a,b]使f(x0)=y0，即[A,B]⊆f([a,b]);另一方面，任取y1∈f([a,b])，由于f(x)单调增，必有A<=y1<=B，故y1∈[A,B],此即f([a,b])⊆[A,B].综合以上，知f([a,b])=[A,B]

高等数学。设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f...
答：令F(x)=xf(x) F'(x)=f(x)+xf'(x)显然满足罗尔定理的前2个条件 又因为 F(a)=F(b)=0 所以 至少存在一点η∈（a,b）使得 F'(η)=0 即 ηf(η)+f'(η)=0.

函数f( x)在闭区间[ a, b]上可导的充分条件是什么
答：指的是存在一个正数M, 对所有x, a<=x<=b，都有 |f(x)| < M。第一类间断点指的是左右极限都存在的间断点。这个论断的含义是，如果函数在闭区间[a,b]上既不会有无穷大的极限点，又不会有激烈的振荡，那么通过不断细分区间、用小矩形面积之和逼近函数图形下的面积，是可行的。

函数f(x)在闭区间上的连续性怎样判断
答：1,罗尔（Rolle）定理 如果函数f(x)在闭区间[a ,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点ξ (a<ξ<b),使得函数f(x)在该点的导数等于零，即f'(ξ)=0.2,拉格朗日定理 如果函数 f(x)满足：1)在闭区间[a,b]上连续；2)...