A是n阶矩阵，且满足A^2-2A=O(O是零矩阵)，证明，A可对角化。这个怎么做呀？ 方阵A满足A^2+A-I=0，证明：A可对角化

思路：A有两个特征值，只要证明属于这两个特征值的不相关的特征向量有n个就可以。如下：

A(A-2E)=0，两边取行列式，可知A的行列式或A-2E的行列式等于零。所以A有特征值0和2，A是二阶矩阵，它有两个不同的特征值，所以A可以对角化。A可以对角化的一个充分条件就是n阶矩阵有n个不同的特征值。

设矩阵A是n×n阶实对称矩阵,且A的平方等于0,证明A=0
设A=[aij],其中i,j=1,2,...,n
令C=A^2=A×A,依据矩阵乘法法则,C中主对角线上元素cii就是A的第i行和A第i列元素对应相乘再相加所得.其中i=1,2,...,n
cii=ai1*ai1+ai2*ai2+...+ain*ain
=(ai1)^2+(ai2)^2+...+(ain)^2
(因为A对称,所以第i行元素和第j列元素是对应相等的)
而cii=0 （C为零矩阵,其中每一个元素当然也是零）
所以
0=(ai1)^2+(ai2)^2+...+(ain)^2
而A是实矩阵,其元素均为实数,
所以aij=0 (j=1,2,...,n),即A中每一个元素均为数字零
因此A=零矩阵

∵A^2-2A=O，
∴A^2=2A，
则A=AE=A^2A^=2AA^=2E，(A^是A的逆)
∵E是对角阵，
∴2E=A也是对角阵，
∴A可以对角化。

将A^2-2A+5E=O改写为A^2-2A-3E=-8E，即(A+E)(A-3E)=-8E，则有(-1/8)(A+E)(A-3E)=E，所以A-3E可逆，且其逆矩阵为(-1/8)(A+E)。

方阵A满足A^2+A-I=0,证明：A可对角化~

条件(A-aE)(A-bE)=0,其中a b不相等,则A可对角化.证明：当AB＝0时有不等式r(A)+r(B)

条件(A-aE)(A-bE)=0，其中a b不相等，则A可对角化。证明：当AB＝0时有不等式r(A)+r(B)=r(A-aE+bE-A)=n，故有r(A-aE)+r(A-bE)=n，这说明(A－aE)x=0和（A-bE）x=0的解空间维数之和是n－r(A-aE)+n-r(A-bE)=n，也就是属于a这个特征值的特征向量与属于b这个特征值的特征向量，线性无关的个数之和是n，因此可对角化

A是n阶矩阵,且满足A^2-2A=O(O是零矩阵),证明,A可对角化。这个怎么做呀...
答：思路：A有两个特征值，只要证明属于这两个特征值的不相关的特征向量有n个就可以。如下：

设A 是n阶矩阵,满足A^2-2A+E=0则(A+2E)^(-1)等于多少 为什么不可以用A...
答：A当然可能等于E，但是不能这样来算 A^2-2A+E=0，所以(A+2E)(A-4E)=A^2 -2A-8E=A^2-2A+E -9E= -9E，即(A+2E)(-A/9 +4E/9)=E 等式两边同时左乘(A+2E)^(-1)，得到(A+2E)^(-1)= -A/9 +4E/9 显然如果A=E，那么(A+2E)^(-1)= -A/9 +4E/9= E/3=(3E)^...

设A是n阶矩阵,满足A^2-2A+E=O,则(A+2E)^(-1)=?
答：2a+b = (-2)*k 2b-1 = 1*k 解得，a = k = -1/9，b= 4/9 即，(A+2E)*[ (-1/9)A + (4/9)E ] ＝ E 综上所述， 矩阵(A+2E)可逆，且(A+2E)^-1 ＝ (-1/9)A + (4/9)E

若n阶矩阵满足A^2-2A-4E=0,试证A+E可逆,并求(A+E)^-1
答：因为 A^2-2A-4E=0 所以 A(A+E)-3(A+E)-E = 0 所以 (A-3E)(A+E)=E 所以 A+E可逆, 且(A+E)^-1=A-3E

已知A是n阶矩阵,满足A^2-2A-3E=0,求矩阵的特征值,答案里有一步运算...
答：Aα = kα A^2α = A(Aα) = A(kα) = kAα = k^2α ...A^m α = k^m α 所以一般来讲对于多项式f总有f(A)α=f(k)α 另一步没啥好多解释的，cα=0可以得到c=0，因为特征向量α非零

设A是n阶矩阵,满足A^2-2A+E=O,则(A+2E)^(-1)=?
答：因为 A^2-2A+E=0 所以 A(A+2E) -4(A+2E) +9E = 0 所以 (A-4E)(A+2E) = -9E 所以 A+2E 可逆, 且 (A+2E)^-1 = (1/9) (4E-A).

设N阶矩阵A满足A^2-2A+3E=0 ,则秩A=N?
答：对.A(A-2E）=-3E,A可逆,A^(-1)=-(A-2E)/3,6,直观的，变换为（A-3E)(A+E)=0 那么A=3E或A=-E，E单位阵的秩为N 这两种结果都说明A的秩为N 所以这个命题是正确的。,1,正确！,1,对的 证明看下面 A^2-2A+3E=A(A-2E)+3E=0 所以A(A-2E)=-3E N=r{-3E}=r{A(A-2E)...

设N阶矩阵A满足A^2-2A+3E=0 ,则秩A=N
答：对的 证明看下面 A^2-2A+3E=A(A-2E)+3E=0 所以A(A-2E)=-3E N=r{-3E}=r{A(A-2E)}<=r{A}<=N 从而r{A}=N

若n阶矩阵A满足A^2-2A-4E=0,试证:A+E可逆,并求(A+E)^-1
答：因为 A^2-2A-4E=0 所以 A(A+E)-3(A+E)-E = 0 所以 (A-3E)(A+E)=E 所以 A+E可逆,且(A+E)^-1=A-3E

设n阶矩阵A满足A^2-2A+2i=0 证明矩阵A-3I可逆,并求(A-3i )^-1
答：A^2-2A+2I=0 A^2-3A+A-3I=-5I A(A-3I)+(A-3I)=-5I (A+I)(A-3I)=-5I [-1/5 (A+I)](A-3I)=I 因此-1/5 (A+I)是A-3I的逆矩阵 因此A-3I可逆，(A-3i )^-1=-1/5 (A+I)