设A为n阶矩阵,满足A²=A.试证:r(A)＋ r(A-I)=n 设A为n阶矩阵,满足A2=A,设A为n阶矩阵,满足A2=A,...

具体回答如图：

n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号。

扩展资料：

将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。

在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P。

在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。

参考资料来源：百度百科——矩阵

引理：

（1）对于m乘n阶矩阵A、n乘s阶矩阵B：若AB=0，则r（A）+r（B）<=n

（2）对于n阶矩阵A、B，有r（A+B）<=r（A）+r（B）

证明上面的两个引理：

（1）因为AB=0，所以B的列向量均为AX=0的解，则B的列向量组的秩不超过AX=0的解空间W的维数，即r（B）<=dimW=n-r（A）（齐次线性方程组解空间维数等于未知量个数减去系数矩阵的秩），从而r（A）+r（B）<=n

（2）设a1，…，an为A的列向量，b1，…，bn为B的列向量，不妨设a1，…，ar为A的列向量的极大线性无关组，b1，…，bl为B的列向量的极大线性无关组，则a1，…，an均可由a1，…，ar线性表出，b1，…，bn均可由b1，…，bl线性表出，从而A+B的列向量a1+b1，…an+bn均可由a1，…，ar，b1，…，bl线性表出，从而r（A+B）<=r（a1，…，ar，b1，…，bl）<=r（a1，…，ar）+r（b1，…，bl）=r（A）+r（B）

现在来证明该题：

利用（1），有r（I+A）+r（I-A）>=r（I+A+I-A）=r（2I）=n

又I-A^2=（I+A）（I-A）=0

从而利用（2）可得r（I+A）+r（I-A）<=n

所以r（A）+r（A-I）=n

扩展资料

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零。

请参考下图，利用条件与两个关于矩阵秩的定理证明这个等式。请采纳，谢谢！祝学习进步！

简单计算一下即可，答案如图所示

线性题目：设A为n阶矩阵，满足A^2=A,试证:r(A)+r(A-I)=n 答案能详细点写吗？ 谢谢！！~

这个要用到多个结论.

证明: 因为 A^2=A
所以 A(A-I) = 0
所以 r(A)+r(A-I) <=n [ 这是一个结论或知识点 ]

另一方面
I = A - (A-I)
所以有
n = r(I)
= r[A - (A-I)] <= r(A) + r(A-I) [ 这是一个结论或知识点 ]

综上有 r(A)+r(A-I) = n .

（结论应该是rank(A)+rank(A-I)=n，否则是错的。例：取A=I，则A^2=I=A，但rank(A)+rank(A+I)=rank(I)+rank(2I)=n+n=2n）



证法一：

令U={x∈R^n|Ax=0}为A的解集，则dim(U)=n-rank(A)；
令V={x∈R^n|Ax=x}={x∈R^n|(A-I)x=0}为(A-I)的解集，则dim(V)=n-rank(A-I)。
两式相加得dim(U)+dim(V)=2n-[rank(A)+rank(A-I)]。

声明：R^n=U⊕V。
证明：(1)U∩V=0：x∈U∩V则Ax=0且Ax=x，所以x=0；
(2)U+V=R^n：对任意x∈R^n，定义x1=x-Ax,x1=Ax，则x=x1+x2；且由A(Ax)=(A^2)x=Ax易知Ax1=Ax-Ax=0,Ax2=Ax=x2，所以x1∈U,x2∈V。

所以dim(U)+dim(V)=n。代入上式得rank(A)+rank(A-I)=n。



证法二：

由A^2=A，A有化零多项式f(x)=x^2-x=x(x-1)。A的最小多项式p(x)必整除f(x)，且f(x)无重根，所以p(x)无重根，所以A可对角化。A的特征值都是p(x)的根，所以都是f(x)的根，只能是0或1。所以A相似于对角元全为0或1的对角阵D。
A相似于D，所以rank(A)等于rank(D)，等于D中1的个数；
A-I相似于D-I，所以rank(A-I)等于rank(A-I)，等于D中0的个数。
所以rank(A)+rank(A-I)等于D的阶，即n。

n阶矩阵A满足A²=A时,称A为幂等矩阵,设A为幂等矩阵,证明:A+E和E-2...
答：这种题，凑出题目要求的那个式子，与另外一个式子的乘积，等于单位阵即可。A²=A 则A²-A=O A²-A-2E=-2E （A+E）（A-2E)=-2E 所以A+E可逆，它的逆是-½(A-2E)A²-A=O A&...

设n阶非零实数矩阵A满足A的伴随矩阵等于A的转置,试证A的行列式等于一...
答：对A*A = |A|·E取行列式得|A*|·|A| = |A|^n.于是有|A|^2 = |A'|·|A| = |A*|·|A| = |A|^n, 解得|A| = 1 (|A|为非零实数).进而得A'A = A*A = E, 即A为正交矩阵.n = 1, 2...

若n阶矩阵A满足条件AAT=E,则(1)|A|=1或-1.(2)A是可逆矩阵,且A-1=AT
答：AAT=E,所以A为正交矩阵，也就是AT=A-1 （A-1）是A的逆矩阵的意思 两边取行列式，则delt（AAT）=deltE 即：/A/^2=1 则|A|=1或-1

设n阶矩阵A满足A^2-3A+2E=0,证明A可相似对角化。
答：而 A^2-3A+2E = 0, 零矩阵的特征值是0 所以 a^2-3a+2 = 0 所以 (a-1)(a-2) = 0 所以 A 的特征值是 1 或 2.因为 A^2-3A+2E=0 所以 (A-E)(A-2E)=0 所以 r(A-E)+r(A-2E)<=n 又因为...

设A为n阶方阵,满足AA^T=E,且|A|=-1,证明|E+A|=0
答：A显然是正交矩阵，因此特征值只能有1或-1 又因为|A|=-1，因此特征值肯定有-1（否则的话，所有特征值都是1，其乘积也即行列式|A|=1，而不是-1）从而A+E必有特征值-1+1=0 则|A+E|=0 或：|A+E|=|A+AA'...

若A是n阶矩阵,f(x)是一个常数项不为零的多项式,且满足f(A)=0。证 ...
答：于是 0 = f(A) = A g(A) +cI 得到 A * [-g(A)/c] = I 所以 A^{-1} = -g(A)/c 如果只需要判断可逆的话更方便，除了上述方法，还可以看特征值，因为A的所有特征值λ都满足f(λ)=0，而f(0)=c...

已知n阶矩阵A满足A2=KA (k不为零)试证:A相似于对角阵。
答：可以用最小多项式解决。由A2-KA=0知道x^2-kx=0是A的零化多项式。而最小多项式是它的因式所以最小多项式为x或x-k或x*（x-k）。最小多项式为x时，A=0.为x-k时，A=kE，是对角阵。为x（x-k），（k不为0）...

设A为n阶方阵, 且满足A^2-3A+2E=0,证明A的特征值只能是1或2
答：设A的特征值是a, 则a^2-3a+2 是 A^2-3A+2E 的特征值.由已知 A^2-3A+2E = 0, 而零矩阵的特征值只能是零,所以 a^2-3a+2 = 0, 即 (a -1)(a - 2) = 0. 所以 a=1 或 a = 2.即 A的特征...

设A是n阶是对称矩阵,且满足A²+A=0,R(A)=k,试求|A+3E|。
答：这怎么被分类为两性问题了?!因为 A^2+A=0, A(A+E)=0 所以 A 的特征值只能是 0, -1 又因为实对称矩阵可对角化, 可对角化矩阵的非零特征值的个数等于矩阵的秩 所以A的特征值为: k个-1, n-k 个 0 所以 ...

已知n阶矩阵a满足a^2=a,试说明矩阵a+e可逆,并求出其逆矩阵
答：简单计算一下即可，答案如图所示