P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S1 如图所示，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC...

如右图，过点P分别作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，
∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，
∴此时两三角形的高的和为AB，即可得出S₁+S₃=

1

2

矩形ABCD面积；
同理可得出S₂+S₄=

1

2

矩形ABCD面积；
∴②S₂+S₄=S₁+S₃正确；
当点P在矩形的两条对角线的交点时，S₁+S₂=S₃+S₄．但P是矩形ABCD内的任意一点，所以该等式不一定成立．故①不一定正确；
③若S₃=2S₁，只能得出△APD与△PBC高度之比，S₄不一定等于2S₂；故此选项错误；
④若S₁=S₂，

1

2

×PF×AD=

1

2

PE×AB，
∴△APD与△PBA高度之比为：

PF

PE

=

AB

AD

，
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴此时矩形AEPF与矩形ABCD相似，
∴

PF

CD

=

PE

BC

，
∴P点在矩形的对角线上．
故④选项正确，
故选D．

如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分~

②④。 矩形的性质，相似如图，过点P分别作四个三角形的高， ∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，∴此时两三角形的高的和为AB，∴S 1 +S 3 = S 矩形ABCD ；同理可得出S 2 +S 4 = S 矩形ABCD 。∴②S 2 +S 4 = S 1 + S 3 正确，则①S 1 +S 2 =S 3 +S 4 错误。若S 3 ="2" S 1 ，只能得出△APD与△PBC高度之比，S 4 不一定等于2S 2 ；故结论③错误。如图，若S 1 =S 2 ，则 ×PF×AD= ×PE×AB， ∴△APD与△PBA高度之比为：PF：PE =AB：AD 。∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形AEPF是矩形，∴矩形AEPF∽矩形ABCD。连接AC。∴PF：CD ="PE" ：BC=AP：AC，即PF：CD ="AF" ：AD=AP：AC。∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点A、P、C共线。∴P点在矩形的对角线上。故结论④正确。综上所述，结论②和④正确。

②④ 试题分析：根据三角形面积求法以及矩形性质得出S 1 +S 3 = 矩形ABCD面积，以及 ， ，即可得出P点一定在AC上．过点P分别作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E ∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，∴此时两三角形的高的和为AB，即可得出S 1 +S 3 = 矩形ABCD面积；同理可得出S 2 +S 4 = 矩形ABCD面积；∴②S 2 +S 4 =S 1 +S 3 正确，则①S 1 +S 2 =S 3 +S 4 错误，③若S 3 =2S 1 ，只能得出△APD与△PBC高度之比，S 4 不一定等于2S 2 ；故此选项错误；④若S 1 =S 2 ， ×PF×AD= PE×AB，∴△APD与△PBA高度之比为 ∴四边形AEPF是矩形，∴此时矩形AEPF与矩形ABCD相似，∴ ∴P点在矩形的对角线上．故④选项正确，故答案为：②和④．点评：特殊四边形的判定和性质的应用是初中数学极为重要的知识，贯穿于整个初中数学的学习，与各个知识点联系极为容易，是中考的热点.

矩形ABCD内一点P,则PA^2+PC^2=PB^2+PD^2这叫什么定理
答：∵P是矩形内一点，设矩形边长分别是a，b，矩形内该点到矩形边的垂线将边长a分为a1，a2，将边长b分为b1，b2。根据勾股定理，得:PA*PA=a1*a1+b1*b1 PC*PC=a2*a2+b2*b2 PB*PB=a1*a1+b2*b2 PD*PD=a2*a2+b1*b1 合并可得PA^2+PC^2=PB^2+PD^2即矩形内任意一点到相对的两个顶点的...

P是正方形ABCD内的任意一点,且三角形ApD的面积为M,三角形DPC的面积为...
答：条件不足，除非把已知改为：S△APD＝M，S△BPC＝N 或 S△APB＝M，S△DPC＝N 在这种情形下，S□ABCD＝2(M＋N)

矩形ABCD内任一点M,证明存在一个四边形,其边长分别等于M到A,B,C,D...
答：证明：矩形ABCD中，点M是其内任意一点 过点M作EG//AB//CD交AD于点E、交BC于点G 过点M作FH//AD//BC交AB于点F、交CD于点H 顺次连接四边形EFGH，显然，该四边形即是满足题意所存在的四边形 因为：AEMF是矩形 所以：AM=EF 同理：BM=FG、CM=GH、DM=HE 所以：四边形各边与点M到A、B...

在矩形abcd中,p是其内部任意一点,试猜想AP,BP,CP,DP之间的数量关系,并...
答：过p往矩形四边作垂线...交ad于m bc于n ab于o cd于q 因为am=op=bn dm=pq=cn ao=mp=dq bo=np=cq 所以由勾股得 ap²=op²+mp²bp²=op²+np²cp²=pq²+np²dp²=pq²+mp²所以ap²+cp²=op&#...

关于矩形内任意一点的问题 如图:P是ABCD矩形内任意一点,已知PA=2*根...
答：如图所示建立一个坐标系，由图可知A（0，0）B（a,0）C(a,b)D(0,b)设P(x,y)可建立方程组：PA^2=x^2+y^2=(2*√3)^2=12 PB^2=(x-a）^2+y^2=(3*√2)^2=18 化简可得：a^2-2*a*x=6;PD^2=x^2+(y-b)^2=100化简可得：b^2-2*b*y=88 PC^2=(x-a)^2+(y-...

四边形ABCD是矩形,点P是矩形内的任意一点。求证PA²加PC²等于PB...
答：过P点作BC的平行线EF，分别交AB,CD于点E、F，则EF垂直AB，EF⊥CD 图中，它们各自被一条对角线分成两个直角三角形。据勾股定理有 PA²=PE²+AE²；PC²=PF²+FC²；PB²==PE²+EB²；PD²=PF²+DF²。∴PA²-PB&...

如图,P是矩形ABCD内一点,且PA=7.PB=8,PC=4 6 求PD
答：过P做EF//AD，交AB于点E，交CD于点F 过P做GH//AB，交AD于点G，交BC于点H 因为 矩形ABCD 所以 角AEP=角PFD=90度，GP=AE=DF，PH=BE=FC 由勾股定理得：PA^2=PG^2+PE^2 PB^2=PH^2+PE^2 PC^2=PF^2+PH^2 PD^2=PF^2+PG^2 所以 PD^2=PA^2+PC^2-PB^2 因为 PA=7.PB...

在矩形中,点P在里面任意一点。如图。连接四个点,得到S1、S2、S3、S4...
答：我认为是2和4正确 利用三角形的面积公式，很明显，S2 + S4 = 矩形面积的一半（过P点向上下两条边做垂线就可以了）。同理，S1 + S3 = 矩形面积的一半。所以2正确 4也正确。S1 = S2,结合2，可以得到S3=S4.所以S1+S4 = 矩形面积的一半。连接矩形的右上顶点和左下顶点，得到一条对角线。若P...

P为矩形ABCD内一点,已知PA=3,PB=4,PC=5,则PD=?
答：PF2+DF2）=√（x2-7+25-x2）=√18=3√2 判定 矩形的常见判定方法如下：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2）对角线相等的平行四边形是矩形。（3）有三个角是直角的四边形是矩形。（4）定理：经过证明，在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形。

P为矩形ABCD内任意一点,若PA=3,PB=4,PC=5,则PD长是多少?
答：过P做两边的垂线，交AB、BC、CD、DA于EFGH ABCD是矩形，所以PE=BF，PF=BE，PG=CF，DF=AE AP^2=AE^2+BF^2...① BP^2=BE^2+BF^2...② CP^2=BE^2+CF^2...③ DP^2=AE^2+CF^2...④ ①-②+③ AP^2-BP^2+CP^2=AE^2+BF^2-(BE^2+BF^2)+BE^2+CF^2 =AE^2+CF...