设方阵A满足A=A的平方,证明:|A|=0或A=E。
A=A^2
若A不可逆，则显然|A|=0。
若A可逆，则两边同乘A的逆矩阵A^-1，即得A=E。
至于“提示中说分|A|=0，|A|!=0来证”，无非就是“|A|=0<=>A不可逆，|A|≠0<=>A可逆”的另一种说法
2.由于A*=|A|*A^-1，
所以|A*|=|(|A|*A^-1)|=|A|^n*|A^-1|=|A|^(n-1)。这用到了一个常数乘以矩阵后的行列式等于常数的n次方乘以矩阵本身的行列式。
A(A-E)=0第二题课本上有
设A是n阶方阵，且（A+E）的平方＝0,证明A可逆？~
由题意知|A+E|的平方=0，则|A|不等于0，所以A可逆
满意请采纳
解：
A^2-A-E=0 那么 A(A-E)-E=0 A(A-E)=E
所以A可逆，A^(-1)=A-E
请证明:方阵A满足A^2=A,且A≠E,则A不可逆。
答：简单计算一下即可，答案如图所示
已知n 阶方阵a 满足a 的平方十2a十4e=0,证明(a十e)可逆
答：∵(a+e)^2=a^2+2a+e=-3e，两边取行列式得[det(a+e)]^2=(-3)^n≠0，∴det(a+e)=0，故a+e可逆。
证明题: 设n阶方阵A满足A平方-A-3I=0,求证A-2I和A+I都可逆。
答：A^2 -A -3I=0 于是得到 (A-2I)(A+I) -I=0 即(A-2I)(A+I)=I 那么取行列式即|A-2I| 和|A+I|都不等于0 所以A-2I和A+I都是可逆的矩阵
证明题:设n阶矩阵A满足A的平方等于E,证明A的特征值只能是正负1_百度...
答：证明题：由A方=E得，A方-E=0，（A-E)(A+E)=0 ┃(A-E)┃┃(A+E)┃=O 故┃(A-E)┃=0或┃(A+E)┃=┃(-A-E)┃=0 故必有λ-1=0或-λ-1=0 即λ=1或-1
设n阶矩阵A满足A平方=A,E为n阶单位矩阵,证明r(A)+r(A-E)=n.
答：n阶矩阵A满足A平方=A ===>r(A)≤n 当r(A)=n时,===>A=E===>r(A-E)=0===>r(A)+r(A-E)=n 当r(A)A为至少有一行是全0的单位矩阵 ===>r(A)+r(A-E)=n.===>n阶矩阵A满足A平方=A,r(A)+r(A-E)=n
设方阵A满足A^2-A-2E=0 证明A及A+2E都可逆
答：A^2-A-2E=0推出A^2-A=2E，所以A(A-E)=2E，从而A的逆矩阵为1/2(A-E).A^2-A-2E=0推出A^2-A-6E=-4E，所以(A+2E)(A-3E)=-4E，从而A+2E的逆矩阵为-1/4(A-3E).可以如图改写已知的等式凑出逆矩阵。
设方阵A满足A的平方-A-2E=0证明A可逆,并求A的-1次方
答：解：A^2-A-2E=0 A^2-A=2E A(A-E)=2E A[1/2*(A-E)=E 故A可逆，且A^-1=(A-E)/2
设n阶方阵A满足A²=2A。证明A的特征值只能是0或2
答：证明: 设a是A的特征值 则a^2-2a 是 A^2-2A 的特征值 因为 A^2-2A = 0 所以 a^2-2a = 0 所以 a(a-2) = 0 所以 a=0 或 a=2 即A的特征值只能是0或2。
高等代数矩阵 A为n阶方阵,证明: A^2=A的充要条件是r(a)+r(a-e)=n...
答：; 0 A-E] -->[ E A-E ; E-A A-E] -->[ E 0 ; E-A A^2-A]-->[E 0 ; 0 A^2-A]故由矩阵初等变换的性质知，其秩保持不变，从而有r(A)+r(A-E)=r(E)+r(A^2-A) ，结合已知条件，得r(A^2-A) =0 ，即A^2=A 证毕！
设n阶非零方阵A满足A^2=0,证明A不能与任何对角阵相似
答：知识点: n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.证明: 因为 A^2=0 所以 A 的特征值只能是0.因为A≠0, 所以 r(A)>=1 所以 n-r(A)<=n-1 所以 A的属于特征值0的线性无关的特征向量至多有n-1个 所以A不可对角化, 即A不能与任何对角阵相似 ...
