已知实n阶矩阵A具有n个两两不同的特征值。f（λ）=|λE-A| 是A的特征多项式。证明：矩阵f（A）=0 线性代数，求特征值，题很简单，但是 入E-A 和使用A-入E...
则存在可逆矩阵P, 使 P^-1AP=diag(a1,...,an)=B(记为B)
即有 A=PBP^-1.
又 f（λ）=|λE-A|=(λ-a1)(λ-a2)...(λ-an).
所以
f(A)=(A-a1E)(A-a2E)...(A-anE)
=(PBP^-1-a1E)(PBP^-1-a2E)...(PBP^-1-anE)
=P(B-a1E)(B-a2E)...(B-anE)P^-1
=P0P^-1
=0
[注意此处 B-aiE 是对角矩阵, 第i行第i列位置是0, i=1,2,...,n
对角矩阵的乘积是主对角线上对应元素相乘
而B-a1E,B-a2E,...,B-anE分别在a11,a22,...,ann位置为0
故其乘积等于0矩阵]
呵呵 你也没分可加了!
[证明] 因为n阶矩阵A具有n个两两不同的特征值,
令这些特征值为λ1, λ2, …, λn, 则f(λi) = |λiE - A| = 0, i = 1, 2, …, n.
又因为对应于不同的特征值的特征向量是线性无关的,
所以A具有n个线性无关的特征向量, 令这些特征向量为p1, p2, …, pn.
于是有可逆矩阵P = (p1, p2, …, pn)使得
P^{-1}AP =
[λ1 0 … 0
0 λ2 … 0
... ... ... ...
0 0 ... λn] = D,
而且P^{-1}f(A)P = f(P^{-1}AP) = f(D) =
[f(λ1) 0 … 0
0 f(λ2) … 0
... ... ... ...
0 0 ... f(λn)] = O.
由此可得 f(A) = POP^{-1} = O.
[参考文献] 张小向, 陈建龙, 线性代数学习指导, 科学出版社, 2008.
周建华, 陈建龙, 张小向, 几何与代数, 科学出版社, 2009.
你不采纳我，我也不会，此等问题，无名小辈
矩阵a的多项式和特征多项式有什么区别~
1、含义不同
λI-A称为A的特征矩阵；|λI-A|称为A的特征多项式；
|λI-A|=0称为A的特征矩阵，而由些求出的全部根,即为A的全部特征值。对每一个求出特征值λ，求出齐次方程组(λI-A)x=o的基础解是&1，&2，&3...&s，则k1&1+k2&2+...ks&s即是A对应于 λ的全部特征向量（其中,k1...ks不全为零）。
2、定理不同
若A的特征多项式没有公因子，则特征多项式为最小多项式。
设A是n阶矩阵，是特征矩阵的n-1阶行列式因子，则A的最小多项式为——n阶不变因子。
3、性质不同
矩阵A的最小多项式是唯一的。
多项式矩阵称为与等价，若经过有限次初等变换能变为B(λ)，记为A(λ)≌B(λ)，亦具有自反性，对称性，传递性。
参考资料来源：百度百科——特征多项式
参考资料来源：百度百科——矩阵多项式
|λE-A|=|λ+3，1，-2；0，λ+1，-4；1，0，λ-1|=(λ+3)(λ^2-1)-4+2(λ+1)=λ^3+3λ^2+λ-5
|A-λE|=|-3-λ，-1，-2；0，λ+1，-4；1，0，λ-1|=-(λ+3)(λ^2-1)+4+2(-1-λ)=-(λ^3+3λ^2+λ-5)vi
只错一个符号，也就是说可以认为特征多项式是一样的。所以一定是你算错了。求根也是一样的，只存在技巧问题。
如何证'若矩阵A,B可交换,则A,B必为同阶矩阵
答：证明：AB 的行数即A的行数 AB 的列数即B的列数 ∴AB=BA 时，A 的行数 (AB的行数) 等于B的行数(BA的行数)，B的列数等于A 的列数 又∵ AB有意义 ∴ A 的列数等于B的行数 ∴ A,B是同阶矩阵
为什么n阶矩阵可对角化?
答：(1)充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量；(2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k；(3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化；(4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以...
对角矩阵的特征值是什么?
答：对角线上的元素可以为 0 或其他值，对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算，且结果仍为对角阵。推论 若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。说明：当A的特征方程有重根...
为什么n阶实对称矩阵有n个线性无关的特征向量
答：1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。3、n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。4、若A具有k重特征值λ0 必有k个线性无关的特征向量，或者说秩r(λ0E-A)必为n-k，其中E为单位矩阵...
n阶矩阵一定有n个特征值吗?
答：n次多项式有且只有n个根(重根按重数计算),这些根可能是实数,也可能是复数。更加详细的说法为：一个n阶矩阵一定有n个特征值（包括重根），也可能是复根。一个n阶实对称矩阵一定有n个实特征值（包括重根）。每一个特征值至少有一个特征向量（不止一个）。不同特征值对应特征向量线性无关。
n阶矩阵一定有n个特征值吗?
答：n次多项式有且只有n个根(重根按重数计算),这些根可能是实数,也可能是复数。更加详细的说法为：一个n阶矩阵一定有n个特征值（包括重根），也可能是复根。一个n阶实对称矩阵一定有n个实特征值（包括重根）。每一个特征值至少有一个特征向量（不止一个）。不同特征值对应特征向量线性无关。
设为阶方阵,,且是的两个不同的解向量,则方程组的通解为( ) (A);(B...
答：设为阶方阵，且是的两个不同的解向量，则方程组的通解为：c、 k(a1-a2)。计算过程如下：因为A为n阶方阵，R(A)=n-1 得出Ax=0有n-R(A)=1个解向量 a1-a2满足Ax=0，A(a1-a2)=b-b=0 所以答案为k(a1-a2)n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时...
为什么“若n阶矩阵A与对角矩阵相似,则A有n个不同的特征值”这句话不...
答：“若n阶矩阵A与对角矩阵相似，则A有n个不同的特征值”不应是n个不同的特征值（因为可能有重根，而且某个特征值所对应的特征向量可能不止1个），应该是n个线性无关的特征向量。可以说“若n阶矩阵A与对角矩阵相似，则A有n个线性无关的特征向量”而不同特征值的数目只是不超过n，但也可以少于n个...
怎么判断一个矩阵能否对角化
答：(2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k (3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化;(4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。n阶单位矩阵的所有特征值都是1，但是它仍然有n个线性无关的特征...
一个矩阵和一个对角矩阵相似,可以得出什么结论?
答：由于这个矩阵A可对角化为对角矩阵B，即：A与B相似。立刻可以算出A的秩，迹、特征值以及行列式的值，均与矩阵B相同。这可以算是一个计算矩阵秩，迹、特征值以及行列式的值的一个比较简单的方法。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得 P^(-1)AP=B 则称矩阵A与B相似，记为A~B。
