求n阶实对称幂矩阵A（A^2=A)的秩为r，求：行列式 I+A+A^2+......+A^n 设A是n阶实对称矩阵且满足A^2=A,设A的秩为r，求行列式...
解: 第1步.
设a是A的特征值.
则 a^2-a 是 A^2-A 的特征值
而 A^2-A=0
所以 a^2-a=0, a(a-1)=0.
所以 a=0 或 1.
第2步.
因为实对称矩阵可对角化
所以存在可逆矩阵P, 使得 P^-1AP = diag(1,1,...,1,0,0,...,0) =B (记为B)
由 r(A)=r, 所以对角矩阵B=diag(1,1,...,1,0,0,...,0)中有r个1, n-r个0.
且 B^k = B.
第3步.
由P^-1AP=B得 A=PBP^-1,
且有 A^k = (PBP^-1)^k = PB^kP^-1 =PBP^-1
所以
|I+A+A^2+......+A^n|
= | I+PBP^-1+PBP^-1+...+PBP^-1 |
= |P(I+nB)P^-1|
= |I+nB|
= (1+n)^r.
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设n阶实对称矩阵a满足a^2=a，且a的秩为r，求行列式2e-a的值~
你好！答案是2^(n-r)，可以利用特征值如下图计算。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！
A^2=A
A^2-A-2E=-2E
(A-2E)(A+E)=-2E
(2E-A)(A+E)=2E
|2E-A||A+E|=2^n
现在求|A+E|的值
A是实对称阵，必可相似对角化，存在可逆阵P,使得P^(-1)AP=Λ
其中Λ是对角阵，设其对角线上的元素是a1,a2……an,由于r(A)=r
可知a1,a2……an中有r个元素不为0，n-r个元素为0,不妨设a1,a2……ar不为0
A^2=P^(-1)Λ^2P=P^-1ΛP 因为P可逆，所以Λ^2=Λ
即(a1)^2=a1,(a2)^2=a2……(an)^2=an
可解得a1=a2=……=ar=1,a(r+1)=a(r+2)=……=an=0
|A+E|=|P^-1ΛP+P^-1EP=|P^-1||Λ+E||P|=|Λ+E|
|Λ+E|为对角阵，其对角线上的元素有r个为2，n-r个为1，所以|A+E|=|Λ+E|=2^r
|2E-A|=2^(n-r)
求n阶实对称幂矩阵A(A^2=A)的秩为r,求:行列式 I+A+A^2+...+A^n
答：而 A^2-A=0 所以 a^2-a=0, a(a-1)=0.所以 a=0 或 1.第2步.因为实对称矩阵可对角化 所以存在可逆矩阵P, 使得 P^-1AP = diag(1,1,...,1,0,0,...,0) =B (记为B)由 r(A)=r, 所以对角矩阵B=diag(1,1,...,1,0,0,...,0)中有r个1, n-r个0.且 B^k = ...
试证明:设A为n阶实对称矩阵,且A^2=A,则存在正交矩阵T,使得T^-1AT=dia...
答：A为实对称矩阵，则币可以对角化，令Aa=xa则 A^2=A x^2a^2=xa x(x-1)a=0 a≠0，x=0,1 则A矩阵的特征值只能为0,1 所以r（A）=r（Λ）=特征值非0的个数 所以必存在可逆矩阵T使得 T^(-1)AT=diag（Er，0）对称矩阵（Symmetric Matrices）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵...
n阶实对称幂等矩阵A(即A2=A)它的秩为r,求标准型
答：又因为A为实对称矩阵, 所以A必可正交对角化 即存在正交矩阵T满足 T^-1AT = diag(a1,a2,...,an)其中ai是A的特征值.由上知 ai 为1或0 故有 T^-1AT = diag(1,...,1,0,...,0).由 r(A)=r, 所以 diag(1,...,1,0,...,0) 中1的个数为r.所以 二次型的标准形为 y1^...
试证明:设A为n阶实对称矩阵,且A^2=A,则存在正交矩阵T,使得T^-1AT=...
答：证明:A为实对称矩阵,则币可以对角化,令Aa=xa则 A^2=A x^2a^2=xa x(x-1)a=0 a≠0,x=0,1 则A矩阵的特征值只能为0,1 所以r(A)=r(=特征值非0的个数所以必存在可逆矩阵T使得 T^(-1)AT=diag(Er,0)
n阶实对称矩阵A满足A^2=A,r(A)=r<n,证明A可表示为A=UU^T,其中U为n×...
答：因为A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵P，使得A=PDP^T，其中D=diag｛m1，…，mr，0，…，0｝（其中mi为A的正特征值）记B=diag｛√m1，…，√mr｝，取U^T=（B 0）P^T，则UU^T=PDP^T=A 所以对本题，由A^2=A可得A的特征值只有1（r重）、0，从而取U^T=（Er 0）P^T即可 ...
设A是n阶实对称矩阵,A^2=A,证明存在正交矩阵...
答：由于A是对称矩阵，因此存在正交矩阵T使得T^（-1）AT为对角矩阵，其中对角线上的元素为A的所有特征值，因此只要证A的特征值只有0和1即可 由于 A^2=A，所以A的特征是0或1，证毕
设A是n阶实对称矩阵且满足A^2=A,设A的秩为r,求行列式det(2E-A),其中E...
答：解: 因为 A^2=A, 所以 A(A-E)=0 所以 A 的特征值只能是 0, 1 又因为A是n阶实对称矩阵, r(A) = r 所以 A 的特征值有r个1, n-r个0 所以 2E-A 的特征值有r个1, n-r个2 所以 |2E-A| = 2^(n-r)
设n阶实对称矩阵a满足a^2=a,且a的秩为r,求行列式2e-a的值
答：你好！答案是2^(n-r)，可以利用特征值如下图计算。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！
设A是n阶实对称矩阵且满足A^2=A,设A的秩为r,求行列式det(2E-A),其中E...
答：A^2-A-2E=-2E (A-2E)(A+E)=-2E (2E-A)(A+E)=2E |2E-A||A+E|=2^n 现在求|A+E|的值 A是实对称阵，必可相似对角化，存在可逆阵P,使得P^(-1)AP=Λ 其中Λ是对角阵，设其对角线上的元素是a1,a2……an,由于r(A)=r 可知a1,a2……an中有r个元素不为0，n-r个元素为0...
设A是特征值仅为1与0的n阶实对称矩阵,证明:A^2=A 这道题该怎么做呢?
答：由于A是实对称阵，那么存在正交阵P使得A=PMP^（-1）,其中M是A的特征值构成的对角阵，那么A^2=PM^2P^-1=PMP^-1=A
