设A是阶矩阵,且满足A^3=2E,矩阵B=A^2-2A+4E求证B可逆,并且求出B^-1 设A是n阶矩阵,且满足A^3=6E ，矩阵B=A^2-2A+...
简单计算一下即可，答案如图所示
由于A^3=2E
所以B^-1可以由A的最高次项为A^2的多项式表示
即B^-1=aA^2+bA+cE
则B^-1B=(A^2-2A+2E)(aA^2+bA+cE)=E
即 aA^4+bA^3+cA^2-2aA^3-2bA^2-2cA+2aA^2+2bA+2cE=E.
所以 2aA+2bE+cA^2-4aE-2bA^2-2cA+2aA^2+2bA+2cE=E.
所以 (2a-2b+c)A^2+(2a+2b-2c)A+(-4a+2b+2c)E=E
所以
2a-2b+c=0
a+b-c=0
2a-b-c=1
有唯一解 a=-1/5,b=-3/5,c=-4/5.
所以 B可逆, 且 B^-1=(-1/5)(A^2+3A+4E).
设 B^-1=aA^2+bA+cE.
(aA^2+bA+cE)(A^2-2A+2E)=E
A^3=0, A^4=0
得出: a=1/4, b=1//2, c=1/2.
即: B^-1=0.5(0.5A^2+A+E)
设A是阶矩阵,且满足A^3=2E,矩阵B=A^2-2A+4E求证B可逆,并且求出B^-1~
且
B^-1=(-1/5由于A^3=2E
所以B^-1可以由A的最高次项为A^2的多项式表示
即B^-1=aA^2+bA+cE
则B^-1B=(A^2-2A+2E)(aA^2+bA+cE)=E
即
aA^4+bA^3+cA^2-2aA^3-2bA^2-2cA+2aA^2+2bA+2cE=E.
所以
2aA+2bE+cA^2-4aE-2bA^2-2cA+2aA^2+2bA+2cE=E,c=-4/.
所以
B可逆;5)(A^2+3A+4E);5,b=-3/.
所以
(2a-2b+c)A^2+(2a+2b-2c)A+(-4a+2b+2c)E=E
所以
2a-2b+c=0
a+b-c=0
2a-b-c=1
有唯一解
a=-1/5
B^(-1)=(1/14*A+1/7*E)
可以验证B*B^(-1)=E
已知A 是3阶矩阵,E是3阶单位矩阵,如果A,A-2E,3A+2E均不可逆,则|A+...
答：A，A-2E，3A+2E均不可逆，就说明这三个矩阵的行列式的值都等于0。即|A|=|A-2E|=|3A+2E|=0，而A是三阶矩阵， 那么由定义很容易知道，A的3个特征值为0，2，-2/3 所以A+E的3个特征值为1，3，1/3 于是三阶矩阵A+E的行列式值等于其三个特征值的乘积， 即 |A+E|=1×3× 1/3=...
若A是3阶矩阵,且A+E,A-E,2E-A都是不可逆矩阵,则|A|=
答：|E+A|=-|-E-A|=0,说明 -1是其一个特征根 |A-E|=0说明1是其一个特征根 |2E-A|=0说明2是其一个特征根 所以|A|=所以特征根求积=-2
9.设A为3阶矩阵,且已知|3A+2E|=0,则A必有一个特征值为( )?
答：|3A+2E|=0,故(-3)^3|-A-2/3E|=0,|-2/3E-A|=0,A必有一个特征值-2 /3,2,这是一个定式！你就可以这么看，就是让A前面的系数为1，解行列式符号里面那个矩阵多项式，获得的单位矩阵的倍数就是对应的特征值！这个需要快速的反应！呵呵，e on!,0,
设A是阶矩阵,且满足A^3=6E,矩阵B=A^2-2A+4E求证B可逆,并且求出B^-1?
答：因为 A^3-6E=0 所以 A(A^2-2A+4E) +2A^2-4A -6E = 0 所以 A(A^2-2A+4E) +2(A^2-2A+4E) -14E = 0 所以 (A+2E)(A^2-2A+4E)=14E 所以 B=A^2-2A+4E可逆,且B^-1 = (1/14)(A+2E).,3,
线性代数问题设A为3阶矩阵,且已知det{3A+2E}=0,则A必有一个特征值为...
答：有 (A-λE)x = 0 于是det (A-λE) = 0 （把(A-λE）看作一个整体,比如看作B矩阵）解出来的 λ 就是特征值 （以上步骤在书上讲特征值的那一部分,如果不记得了,你可以看看书上的推导）那这道题也一样 你已知det（3A+2E）=0 等号两边同时除以 3 得到 det（A+（2/3E））=0 等价...
设三阶矩阵A,满足A^2=E,但A≠±E,试证明:[R(A-E)-1][R(A+E)-1]=0...
答：A+E，A-E均不是零矩阵，故R(A-E)，R(A+E)均不等于零，A+E，A-E均不可逆的，故R(A-E)，R(A+E)均不等于3（满秩），又由两n阶矩阵乘积为零矩阵,则两矩阵秩之和不大于n,R(A-E)+R(A+E)≤3,故R(A-E)，R(A+E)不能都是2，故R(A-E)]=1或[R(A+E)=1，于是得[...
设A为n阶矩阵,且A^3=0,求(A+2E)^(-1)
答：解：(A+2E)^3=3AA*2+3A*4+8E=6A(A+2E)+8E 于是(A+2E)^2=6A+8(A+2E)^(-1)即(A+2E)^(-1)=(AA-2A+4)/8 备用：A^3=0，det(A)=0.
若A是3阶矩阵,且A+E,A-E,2E-A都是不可逆矩阵,则|A|=
答：|E+A|=-|-E-A|=0,说明 -1是其一个特征根 |A-E|=0说明1是其一个特征根 |2E-A|=0说明2是其一个特征根 所以|A|=所以特征根求积=-2
设三阶矩阵A满足A2=E(E为单位矩阵),但A≠±E,试证明:(秩(A-E)-1...
答：解答：证明：∵A2=E∴0=（A-E）（A+E）∴0=r（（A+E）（A-E））≥r（A+E）+r（A-E）-3∴r（A+E）+r（A-E）≤3而 r（A+E）+r（A-E）=r（A+E）+r（E-A）≥r（A+E+E-A）=r（2E）=3∴r（A+E）+r（A-E）=3． 又因为 A≠±E，∴r（A+E）≠0，r（A-E...
求实n阶矩阵A满足A^4+A^3-A^2+A-2E=0,
答：*E，其中E是单位矩阵，函数f(x)=x^4+x^3-x^2+x-2，。也就是说，只要f(-k)不等于0，(A+kE)(商多项式）=-f(-k)*E，即A+kE必定可逆，所以k不等于2或-1即可。当k等于2或-1的时候，容易构造出一个对角线是2或-1的n阶多项式，满足A^4+A^3-A^2+A-2E=0，但是A+kE不可逆。
