证明sinxtanx-x^2>0在x属于（0，兀/2）恒成立。谢谢 当0<x<π/2时，sinx+tanx>2x。该怎么证明这个...
则f'(x)=sinx+sinx/(cosx)^2-2x≥2√（sinx*sinx/(cosx)^2）-2x=2(tanx-x),
（注：√是根号，实在不会拉长~），
再设g(x)=tanx-x,则g'(x)=1/(cosx)^2-1>0,所以g(x)单调增加，
即g(x)>g(0)=0,
所以f'(x)>0,所以f(x)单调增加，
故有f(x)>f(0)=0,即sinxtanx-x^2>0恒成立
亲，一般这种类型的题都可以这样做1求导；2判断在还区间导函数是正、负、零；3得到何处是最大或最小值，并求出最大或最小值，就能证明是大于还是小于那个数了，望采纳！不清楚再追问
（1）用导数证明：若x∈（0，π2），则sinx＜x＜tanx．（2）若a＜sinxx＜b对x∈（0，π2）恒成立，求a的~
（1）证明：设f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，x∈（0，π2），f′（x）=1-cosx＞0，g′（x）=1cos2x-1＞0，由于f（x）和g（x）在（0，π2）上都是单调递增函数，∴f（x）＞f（0）=0，g（x）＞g（0）=0，∴x-sinx＞0，tanx-x＞0=＞x＞sinx，tanx＞x，∴sinx＜x＜tanx，x∈（0，π2）．…6分（2）解：当x＞0时，“sinxx＞a”等价于“sin x-ax＞0”，“sinxx＜b”等价于“sin x-bx＜0”．令g（x）=sin x-cx，则g′（x）=cos x-c．①当c≤0时，g（x）＞0对任意x∈（0，π2）恒成立．②当c≥1时，因为对任意x∈（0，π2），g′（x）=cos x-c＜0，∴g（x）在区间（0，π2）上单调递减，从而g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，π2）恒成立．…8分③当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，π2）使得g′（x0）=cos x0-c=0．g（x）与g′（x）在区间（0，π2）上的情况如下：x（0，x0）x0（x0，π2）g′（x）+0-g（x）递增递减∵g（x）在区间（0，x0）上是增函数，∴g（x0）＞g（0）=0．于是“g（x）＞0对任意x∈（0，π2）恒成立”当且仅当g（π2）=1-π2c≥0，即0＜c≤2π．…11分综上所述，当且仅当c≤2π时，g（x）＞0对任意x∈（0，π2）恒成立；当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，π2）恒成立．∴若a＜sinxx＜b对任意x∈（0，π2）恒成立，则a的最大值为2π，b的最小值为1．…13分．
解引入函数f（x）＝sinx＋tanx－2x，则：
f′（x）
＝cosx＋1/（cosx）^2－2
＝［（cosx）^3－2（cosx）^2＋cosx＋1－cosx］/（cosx）^2
＝［cosx（cosx－1）^2＋1－cosx］/（cosx）^2。
∵x是锐角，∴0＜cosx＜1，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，π/2）上是增函数，
又f（0）＝sin0＋tan0－2×0＝0，∴f（x）在（0，π/2）上恒为正数，
∴在（0，π/2）上，sinx＋tanx－2x＞0，∴在（0，π/2）上，sinx＋tanx＞2x。
当0<x<π/2时,证明sinx+tanx>2x,请用最简单的方法,和文字说明
答：＝［cosx（cosx－1）^2＋1－cosx］/（cosx）^2。因为x是锐角，所以0＜cosx＜1，所以f′（x）＞0，所以，f（x）在（0，π/2）上是增函数，又f（0）＝sin0＋tan0－2×0＝0，则f（x）在（0，π/2）上恒为正数，所以，在（0，π/2）上，sinx＋tanx－2x＞0，则在（0，π/2）上...
Lim (x →0 )(sinx-tanx)/x^2
答：不用求导,直接泰勒公式展开 原式=lim(x→0)[x-x³/6-x-x³/3+o(x³)]/x²=lim(x→0)-x³/2x²+0 =0
证明sinx+tanx>2x
答：＝［cosx（cosx－1）^2＋1－cosx］/（cosx）^2 因为x是锐角，所以0＜cosx＜1，所以f′（x）＞0，所以，f（x）在（0，π/2）上是增函数，又f（0）＝sin0＋tan0－2×0＝0，则f（x）在（0，π/2）上恒为正数，所以，在（0，π/2）上，sinx＋tanx－2x＞0，则在（0，π/2）上，...
x趋近于0时.tanx-sinx是比x^2较什么阶的无穷小量
答：tanx-sinx =sinx(1/cosx-1)=sinx(1-cosx)/cosx =sinx(1-cosx) x--->0 =x*(-0.5x^2) x--->0 =-0.5x^3 tanx-sinx是比x^2高阶的无穷小量,即tanx-sinx=o（x^2）
x趋近于0时。 tanx-sinx是比x^2较什么阶的无穷小量
答：高阶 因为 （极限不打了,等阶小量打成=）tanx-sinx=tanx(1-cosx)=x*1/2x^2 =1/2*x^3
证明sinx+tanx>2x
答：令f(x)=sinx+tanx-2x,对齐一阶求导f'(x)=cosx+sec^2(x)-2 f'(x)>0,即函数单调递增.又f(0)=0 ,所以f(x)〉0 sinx+tanx-2x〉0 sinx+tanx>2x
证明不等式 (1)当0
答：（1）求导,f(x)=sinx+tanx-2x,有f'(x)=cosx+1/(cosx)^2-2=[(cosx)^3+1-2* (cosx)^2]/(cosx)^2,分母必大于0,所以,只讨论分子的情况,令g(x)=(cosx)^3+1-2* (cosx)^2 g'(x)=-3(cosx)^2*sinx+4cosx*sinx=3cosx*sinx*(-cosx+4/3) 必大于0,因为cosx,sinx值域为(0...
一条用洛必达法则的高数题,求limx→0tanx-x/x^2sinx
答：【上面用了两种方法作】
证明:sinx+tanx>2x (0<x<pi/2)
答：F(x)=sinx+tanx-2x,(0<x<pi/2)对其求导得F`(x)=cosx+sec^2x-2 F``(x)=-sinx+2tanxsec^2x=sinx(2sec^3x-1)>0 所以F`(x)>F`(0)=0 F(x)>F(0)=0 F`(x)=cosx+sec^2x-2是大于0的,simenqing2043的思路是对的,但出了点错,1/2cosx+1/2cosx+1/cos^2x-2用均值不...
limx趋于零时,为什么lim(tanx-sinx)/x^2不能拆成limtanx/x^2-limsinx...
答：0/0型的极限不能随便拆项，因为这样可能造成上下无穷小的阶发生变化。lim〔x→0〕（tanx-sinx）/x²＝lim〔x→0〕（1-cosx）sinx/x²cosx ＝lim〔x→0〕（sin²x）sinx/x²cosx（1+cosx）＝0/2 ＝0
