J积分理论 李灏的成就及荣誉
Rice应用塑性力学的全量理论，避开求解裂纹前缘塑性应力场时数学计算上的困难，于1968年提出了平面裂纹问题的J积分概念，1972年Begley与Landes实验研究后指出：J积分可作为表示起裂的弹塑性断裂判据。
J积分是一个定义明确及理论严密的应力、应变场参量，像线弹性断裂力学中的应力强度因子一样，J积分即能描述裂纹顶端区域应力、应变场强度，又容易通过实验来测定。所以它是弹塑性断裂力学中的重要参量。J积分有两种定义或表达式，一是回路积分定义，另一种是形变功率定义，在塑性力学全量理论的描述下这两种定义是等效的。
一、J积分的回路定义
设有一单位厚度的板状试样，其中有一贯穿裂纹，如图4-1所示。因为板状问题属于平面应力状态问题，根据能量平衡理论有
岩石断裂与损伤
式中：Π为系统势能；U为弹性应变能；W为外力功。设裂纹面积扩展了dA，在这个过程中载荷所做的功为dW，体系弹性应变能变化了dU，裂纹扩展所需的塑性功和释放的表面能可视为裂纹扩展所要消耗的能量dΠ，也即阻止裂纹扩展的能量。因此要使裂纹扩展，系统必需提供的能量为：-dΠ=dW-dU。定义裂纹扩展单位面积弹性系统释放的能量为裂纹扩展能量释放率，或称为裂纹扩展单位长度时的裂纹驱动力，用G表示：
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对于单位厚度的平面问题，A=B×a=a，其中B=1，a为裂纹长度。则有
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在试样上取一体积元dV=dxdy，则总应变能为
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式中：w为应变能密度。
设试样边界Γ上作用有面力T，在试样周边上取一微元弧长ds，边界Γ上各点位移为u，则外力的功为
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将式（4-4）和（4-5）代入式（4-1），得
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由式（4-3）和式（4-6）得到
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上式在线弹性条件下是成立的，在弹塑性条件下G已失效，但是对任何弹塑性体，不管是大范围屈服还是整体屈服，上式右边的积分总是存在的，这个积分称为J积分。
图4-1 J积分定义简图
图4-2 J积分守恒的积分路线图
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式（4-8）就是对于二维问题，Rice提出的J积分的回路积分定义，它是一种能量线积分，式中：Γ为绕裂纹尖端的下表面反时针走到上表面的积分回路（图4-1）；T为作用在积分回路Γ上的面力矢量（单位弧长上的力）；u为作用在积分回路Γ上的位移矢量；ds为回路上的弧元；w为应变能密度。
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令x=x1，y=x2，面力分量：Tx=T1，Ty=T2。位移分量：u=u1，v=u2。用n=（n1，n2）表示回路单位法线矢，则
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式中θ为n与x方向的夹角。由应力边界条件：
Tx=σxn1+τxyn2
Ty=τyxn1+σyn2
即：Ti=σijnj（i，j=1，2）
则J积分的标量式：
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二、J积分的守恒性
J积分所以能成为描述弹塑性断裂的参量，重要原因是J积分具有守恒性，即：J积分的积分值与所选择的路径无关。由于守恒性，J积分就像线弹性断裂力学中的应力强度因子一样，反映了裂纹顶端的某种力学特征或应力应变强度，同时在分析过程中有可能避开裂纹顶端这个难以直接严密分析的区域。下面证明J积分的守恒性，即证明式（4-11）成立：
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式中：Γ、Γ′为围绕裂纹顶端区的两条不同的积分回路，如图4-2所示。取闭合路径：。
由格林公式：
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因为
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所以
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令：
化简得
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当体力不计时：，
在小变形条件下：
代入得
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所以
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由于：，在CD和AB上Ti=0，dy=0，L=Γ-Γ′。即有
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此式即为J积分数值与路径无关的证明，也即J积分具有守恒性的证明。需要说明的是在上述证明过程中运用了以下关系：
（1）w=∫σijdεij，。即要求εij由σij唯一确定，即弹塑性体按单调比例加载，不允许发生卸载（全量理论的要求）。
（2））。即要求小变形。
（3）。即不计体力。
由此可见，J积分的守恒性仅在上述条件下才能得到严格证明，这也是J积分理论应用的适用范围，后来不少学者对J积分的适用范围进行了研究，并证明在积分回路通过大应变区域时，J积分数值与积分路径无关仍然是近似成立的，从而使J积分参量的应用范围扩大到三维非线性弹性体、轴对称裂纹体等问题中。
三、J积分的物理意义
1.线弹性材料
对于线弹性材料，J积分守恒成立的几个前提条件（不计体力、小应变、单调加载）都是自然具备的，因此J积分理论可用于分析线弹性平面裂纹问题。
由J积分的回路定义式（4-10），线弹性平面应变状态条件下，应变能密度为
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将Ⅰ型裂纹尖端附近的应力分量表达式代入上式得
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取积分回路为一个以裂纹尖为中心，半径为r的圆周，求得
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由边界条件得
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Ⅰ型裂纹平面应变情况下的位移分量：
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代入式（4-10）第二项积分：
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将式（4-12）和式（4-13）代入式（4-10）得
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平面应力状态：
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即在线弹性条件下J积分的物理意义就是能量释放率，J积分的断裂判据JⅠ=JⅠC与KⅠ=KⅠC、GⅠ=GⅠC等效。
2.弹塑性材料
前面介绍了J积分的回路积分定义，虽然定义明确，又是比较严密的裂尖场参量，但在非线性情况下利用围线积分求J值十分麻烦。工程上应用方便的断裂判据参量，必须易于理论估算和实验测定。因此往往使用的是J积分的形变功率定义。
J积分的形变功率定义也是由Rice首先提出的，其定义式如下：
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式中：积分回路L为试样的边界围线；B为试样厚度；T、u为试样边界上的外力与位移；U为试样中的应变能；ds为试样边界上的微弧元。可以证明式（4-16）与J积分的回路定义是一致的。但式（4-16）中积分是沿试样边界进行的，其值也只与边界的力的分量及位移分量的微分有关，因此按此定义计算的J积分比直接按回路积分定义式的计算要方便得多，也便于实验标定。
图4-3 单边裂纹拉伸试样
在断裂韧性试验中，常用的简单加载情况如图4-3所示。一切口试样厚度为B，上端边界L2固定，下端载荷为F，左右边界为自由边界。
由式（4-16），在自由边界L0上Ti=0；在固定边界上L2，，所以自由边界和固定边界对上式中积分项无贡献。在施加载荷F的活动边界L1 上，（B为试样厚度，W为试样宽度），若令加载点的位移u=Δ，则：
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根据能量平衡理论式（4-1）Π=U-W，其中：Π为系统势能，U为弹性应变能，W为外力功，且W=FΔ。即：U=Π+FΔ，将此式代入上述J积分表达式中，得
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恒载条件下dF=0，上式变为
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恒位移条件下dΔ=0，上式变为
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式（4-19）与（4-20）在J积分的测试中应用较广。
对于弹塑性材料，当裂纹扩展时，必然造成卸载，因而储存在材料中的应变能不会全部释放。下面通过对试样加载过程中裂纹扩展和能量变化说明J积分的物理意义。
设有外形尺寸完全相同而裂纹尺寸不同的两个试样，其厚度为B，裂纹长度分别为a、a+Δa，在相同载荷F作用下，由于两个试样的柔度不同，其加载曲线具有不同的形式，如图4-4（a）所示，由于弹塑性材料的载荷变形曲线呈非线性，可以得出两个试样在加载过程中所接受的形变功的差量为
图4-4 弹塑性体F-Δ曲线及形变功
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式中：S表示面积，由于δΔ很小，F可认为是AB间的平均应力。由上式可得
SOABO=-δU+FδΔ
上式两边同除以Bδa，则
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由式（4-17）可知，上式右边即为J积分，所以有
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由式（4-21）可见，曲线OA、OB之间阴影的面积即为JBδa。
在恒位移或恒载荷条件下，如图4-4（b）、（c）所示，OA、OB曲线之间阴影的面积即表示两个试样之间形变功的差异。由式（4-21）可得
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式中，Bδa表示两试样相差的裂纹扩展面积；SOABO表示两试样间形变功的差异。由此可以说明J积分的物理意义。对于弹塑性体而言，J积分代表两个相同尺寸的裂纹体，具有相同边界约束和相同边界载荷，但裂纹长度相差δa（a，a+δa），当δa⇒0时的单位厚度势能的差率或所接受的形变功率的差异。
四、J积分判据
1.弹塑性条件下裂纹尖端附近区域的应力场和应变场
1968年Hutchinson、Rice、Rosengren在塑性力学全量理论条件下对幂硬化材料求出带裂纹体的弹塑性应力、应变局部解——HRR理论。
幂硬化材料本构关系：
σe=A（εp）N
其中：N为硬化指数；A为材料常数。应力场和应变场分别为
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式中：、为角因子，是θ、N的量纲为一的函数。
上述各式也可表示为
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式中：In是N的函数，。σ0为屈服强度；E为弹性模量；α、In为材料系数；n为硬化指数。有
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当r→0，，；故上式反映了裂纹尖端应力、应变场的奇异性。应力的奇异性为：阶；应变的奇异性为阶。当n=1时与线弹性情况相同。
2.J积分判据
由HRR理论知，在弹塑性条件下J积分的大小完全决定了裂纹尖端附近区域的应力场、应变场强度，可以用J积分这个参量来当做分析弹塑性体断裂的判据：
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JⅠC表示平面应变条件下J积分的临界值，称起裂韧度，它反映了弹塑性材料抵抗断裂的能力。
J积分断裂判据的使用条件：
（1）J积分的守恒性是在简单加载条件下证明的，故使用时不允许卸载，只能应用于分析裂纹扩展的开始，即仅为起裂的断裂判据，而不能用于裂纹的扩展过程（如亚临界裂纹扩展）。
（2）在小变形条件下J积分具有守恒性，在大变形条件下可按增量理论近似证明J积分的守恒性。
（3）当n→∞时J积分不能当做弹塑性断裂的控制参数。
在小范围屈服条件下J=JⅠC可作为弹塑性裂纹开始扩展的判据，但在大范围屈服时目前从理论上还没有完全解决。但是，利用小试样测出平面应变起裂韧度JⅠC与平面应变断裂韧度KⅠC有：，由于J积分对塑性区敏感性小，因此在需要很大试件和足够长裂纹才能准确测定KⅠC时，可由小试样测出JⅠC，进而求出KⅠC。
对于地质材料，特别是非均质的岩石，由于存在层理、节理，具有明显的各向异性，在测KⅠC时为保证塑性区相对较小需较长裂纹和较大试样，而且非均质和各向异性导致测试结果的离散和较大误差。利用JⅠC求出KⅠC则减少了非均质和各向异性对测定KⅠC的影响。
五位中国科学家的名字?~
仍然健在的五位科学家：
1、袁隆平，农学家、杂交水稻育种专家，中国研究杂交水稻的创始人，世界上成功利用水稻杂交优势的第一人。他于1981年荣获我国第一个国家特等发明奖，被国际上誉为“杂交水稻之父”。
2、屠呦呦，1971年首先从黄花蒿中发现抗疟有效提取物，1972年分离出新型结构的抗疟有效成分青蒿素，1979年获国家发明奖二等奖。多年从事中药和中西药结合研究，突出贡献是创制新型抗疟药———青蒿素和双氢青蒿素。2011年9月，获得被誉为诺贝尔奖“风向标”的拉斯克奖。2015年10月，因发现青蒿素治疗疟疾的新疗法获诺贝尔生理学或医学奖。
3、蔡其巩，金属物理与断裂力学专家。国家冶金工业局钢铁研究总院高级工程师，从事金属结构和力学性能关系的研究。1980年当选为中国科学院院士(学部委员)。 60年代末，首先在国内引进了线弹性断裂力学，促进了壳体用超高强度马氏体时效钢试制成功。70年代初，从事弹塑性断裂力学理论和工程应用研究，在国际上首先成功地把J积分理论用于高应变区裂纹容限分析和应变疲劳寿命分析。曾担任中国金属学会理事、名誉理事。
4、田昭武，物理化学家。首创：用于测定瞬间交流阻抗的选相调辉和选相检波测定法；用于测定超低腐蚀速率的控制电位脉冲技术；用于测定早期局部腐蚀的扫描微电极技术；建立复制超微复杂三维图形新技术——约束刻蚀剂层技术。研制并批量生产的仪器有：电化学综合测试仪、电镀参数测试仪、新一代离子色谱抑制器，是中国电化学学科带头人之一。
5、吴祖泽，1935年10月19日出生，浙江镇海人。1957年毕业于山东大学。中科院院士、军事医学科学院研究员，是中国实验血液学研究的先驱，他在国际上首次获得人缘性干细胞生长因子，完成了世界首例胎肝造血干细胞移植治疗急性重度骨髓型放射病人，被誉为“中国造血干细胞之父”。
培养人才李灏在数学、力学和物理学上有较高的造诣，在华中工学院长期担任理论力学教研室主任期间，他不仅承担了大量数学与力学的教学任务，而且精心培养了一批青年力学教师，在几十年的教学生涯中，他讲过几十门课。他既讲理论力学、材料力学、分析力学、弹性力学、塑性力学、热弹性力学、振动理论、断裂力学、有限元法、流体力学、连续介质力学等力学课程，也讲数学分析、复变函数、保角变换、张量分析、微分几何、变分法、热力学、电动力学和近代物理等数学和物理学课程。在教学中，李灏非常注意因材施教、深入浅出。他讲课概念清楚，逻辑严谨，联系实际，并紧紧掌握住力学发展的趋势，及时地将力学的新分支、新概念和新方法引进到教学中去，而且他讲课非常注重科学与艺术的统一。因此大家都说：“听李灏教授的课不仅使人学到知识，而且是一种艺术享受。” 为发展中国的力学教育事业，他和其他同志一道，于1979年创办了华中工学院力学系和力学研究所，并任系主任兼所长。华中理工大学力学系不仅有本科专业，而且有固体力学、流体力学、实验力学、计算力学和结构力学5个专业硕士点以及固体力学专业博士点，为国家输送了大批高级科技人员。这些成绩与李灏的努力是分不开的。断裂力学在学术研究方面，他早期有兴趣于广义相对论和统一场论。他认为，力学工作者应具有较宽广的知识面，不仅要有较高的数学水平，而且要懂得近代物理学知识。他曾把爱因斯坦的名著《相对论的意义》译成中文，由科学出版社出版，还曾利用各种机会在大学生和研究生中宣传爱因斯坦的成就和学术方法。他自己数十年如一日孜孜不倦地学习理论问题，即使在“文化大革命”期间，李灏也丝毫不放松对学术的探讨，并且花了许多时间系统地阅读《量子场论》 ，写了不少心得笔记。 70年代初，他开始致力于断裂力学的研究与应用，并为断裂力学在中国的普及做了大量工作。首先，他编著了《断裂理论》和《断裂力学》教材，在教育部委托下多次办研讨班，在大学与研究所推广断裂力学理论与方法。80年代初期，他又积极向中国学者推荐损伤力学理论与方法，编著损伤力学教材，组织中国首届损伤力学学术会议。除了指导一些中青年教师研究断裂力学在工程中的应用外，李灏还潜心研究Noether理论与J积分守恒性的关系，得到一些有理论意义的成果。后来，他把J积分理论用于分析金属材料以及包括人骨在内的非金属材料的断裂问题。李灏不仅注意理论探讨与分析，而且也强调做实验工作。在他年事已高时，也不放弃参加实验研究的机会。他常告诫年轻教师与研究生要全面锻炼自己的理论分析与实验分析能力，要像京剧演员那样，“唱、做、念、打”样样都精。损伤力学李灏学术思想敏锐，总是力图使自己的学术研究工作既能直接为祖国的建设事业服务，又能紧紧跟上世界力学学科发展的趋势。80年代初，他注意到一门新的固体力学分支——连续损伤力学在欧洲出现。他认为，这个分支学科的出现是顺应解决工程中破坏问题的迫切需要而产生的。于是他除了用很快的速度向国内介绍这新分支学科以外，还身体力行地组织起了研究班子。在国家自然科学基金会的支持下，他抓住一项工程实际课题“深冲的成形极限”进行系统而周密的研究，提出了新的损伤准则，用以预估塑性失稳。在研究中，他不满足于理论上取得的成果，而注重并追求研究成果的实际效果。 他指导研究生首次测出了真实金属材料的各向异性损伤及其演变；用实验说明损伤变量可以十分近似地表示为一对称的二阶张量。他们的论文《形变失稳的各向异性损伤准则及其在金属薄板成形极限中的应用》 ，在国际刊物《工程断裂力学》上发表后，他并没有止步，他认为：所提准则只是在比例加载下被证明成立了，但这对工程应用是不够的。于是，他又指导青年教师和研究生对所提准则在非比例加载下的实用可能性进行研究，又取得了满意的结果。后来，在研究金属大变形塑性损伤时，他把冯·米泽斯的思路引入损伤力学，受到国内外同行的关注；接着，又把损伤力学的成果用以分析动态损伤的应力应变场，并取得了进展。学术交流李灏还非常注重与外界进行学术交流与交往，他多次参加美国机械工程师学会和国际理论与应用力学联合会的年会和专题讨论会。1979年，他参加美国机械工程师学会的冬季年会，交流了《断裂力学在中国的主要进展》，这是最早向国际上介绍中国学者在断裂力学上的研究成果的论文。1986年，在IUTAM举办的断裂的局部法研讨会上，他介绍了论文《用损伤模型研究动态扩展时塑性区的应力应变分布》 。这篇论文得到的理论解把损伤区高速扩展的结果与准静态扩展的结果一致起来，解决了这个经典断裂力学问题，这一成果受到与会同行的重视。在学术研究中，李灏知人善任，善于和其他老教师以及中青年教师合作。作为学术带头人，他对同事既严格要求，又悉心指导。在一个新的研究课题面前，他能很快地组织一个较齐全的班子开展工作，并力争尽快取得研究成果。对此，他将自己的经验总结为一句话，即尽力发挥各人的长处。
J积分理论
答：J积分是一个定义明确及理论严密的应力、应变场参量,像线弹性断裂力学中的应力强度因子一样,J积分即能描述裂纹顶端区域应力、应变场强度,又容易通过实验来测定。所以它是弹塑性断裂力学中的重要参量。J积分有两种定义或表达式,一是回路积分定义,另一种是形变功率定义,在塑性力学全量理论的描述下这两种定义是等效的。
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