证明：已知向量组α1,α2,……,αm线性无关,证明向量组α1,α1+α2，……，α1 已知α1，α2，…，αn线性无关，证明向量组α1+α2，α2...
则 k1α1+k2α2+…+km-1αm-1-(k1+k2+...+km-1)αm=0.
由已知 α1,α2,…αm线性无关
所以 k1=k2=...=km-1=k1+k2+...+km-1=0
所以 k1=k2=...=km-1=0.
所以 α1-αm,α2-αm…αm-1-αm 线性无关.
直接按定义来证明即可
已知向量组α1α2α3线性无关,证明α1+α2,α2+α3,α1+α3 线性无关~
证明：设k1(α1 + 2α2) + k2(α2 + 2α3) + k3(α3 + 2α1)=0，其中：k1，k2，k3为常数，得： (k1 + 2k3)α1 + (2k1 + k2)α2 + (2k2 + k3)α3=0，且α1，α2，α3线性无关→ k1 + 2k3=0 2k1 + k2=0 2k2 + k3=0
解得：k1=k2=k3=0
故：向量组α1 + 2α2，α2 + 2α3，α3 + 2α1线性无关。
在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。
扩展资料：
齐次线性方程组是否存在非零解，将其系数矩阵化为最简形矩阵，即可求解。此外，当这个齐次线性方程组的系数矩阵是一个方阵时，这个系数矩阵存在行列式为0，即有非零解。
若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。
一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。
参考资料来源：百度百科--线性相关
参考资料来源：百度百科--向量
设存在一组实数ki（i=1，2，…，n），使得k1（α1+α2）+k2（α2+α3）+…+kn-1（αn-1+αn）+kn（αn+α1）=0即（k1+kn）α1+（k1+k2）α2+…+（kn-2+kn-1）αn-1+（kn-1+kn）αn=0由于α1，α2，…，αn线性无关∴k1+kn＝0k1+k2＝0…kn?2+kn?1＝0kn?1+kn＝0对这一齐次线性方程组的系数矩阵（设为A）施行初等行变换，化成行阶梯形矩阵A=100…001110…000011…000???…???000…110000…011 <span dealflag="1" class="MathZyb" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:norm
已知α1,α2,…αs的秩为r,证明:α1,α2,…αs中任意r个线性无关的向量...
答：极大线性无关组的定义：如果存在r个向量线性无关。任意的r+1个向量（若存在）线性相关。那么这r个向量是向量组的一个极大无关组。同时，称极大无关组中向量的个数（即r）为向量组的秩。根据定义，这句话显然。向量组的秩既然是r，那么任意r+1个向量一定线性相关。那么r个线性无关的向量当然就是...
设向量组I=α1,α2,…,αr,可由向量组Ⅱ=β1,β2,…,βs线性表出,下列...
答：A：反设r＞s．因为向量组I=α1，α2，…，αr，可由向量组Ⅱ=β1，β2，…，βs线性表出，所以向量组α1，α2，…，αr的秩＜s＜r，所以向量组I=α1，α2，…，αr线性相关，矛盾！故r≤s，故A成立．B：如果向量组Ⅱ=β1，β2，…，βs线性相关，取αi=βi，i=1，…，s，...
向量组α1,α2,...,αm的秩为r,证明α1,α2,...,αm-1的秩≥r-1?_百...
答：如果am不是这r个向量之一 则向量组a1,a2,...,a(m-1)中仍旧有且仅有r个向量线性无关 则它的秩为r 综上所述,a1,a2,...,a(m-1)的秩>=r-1,10,假设α1,α2,...,αm-1的秩≤r-2 增加1个向量后秩最多多1 即 α1,α2,...,αm的秩≤r-2+1=r-1 和已知矛盾 所以 α1,...
设向量组α1,α2,…αs的秩为r,且其中每个向量都可经α1,α2,…αr...
答：提示一下吧，要证明是极大无关组，只要能证明α1，α2，…αr线性无关，或者说它的秩为r 这其实很简单 因为向量组α1，α2，…αs的秩为r，且其中每个向量都可经α1，α2，…αr线性表出 则r=r(α1，α2，…αs)<=r(α1，α2，…αr)<=r 所以r(α1，α2，…αr)=r，从而...
设向量组α1,α2,…,αr线性无关,证明向量组
答：反证法 设其线性相关，则存在不全为0的一组数K1、K2、……Kr，使得 K1β1+K2β2+……Krβr=0 代入 即K1（α1+αr）+……Kr（αr）=0 整理后得 K1α1+K2α2+……（K1+K2+……Kr）αr=0 由于K1、K2、……Kr不全为0，因此此方程系数也不全为0 ，即向量组α1，α2，…，αr...
已知n维向量组α1 α2... αS(s≦n)线性无关,β是任意的n维向量,证明...
答：假设有两个向量ai,aj（i < j）能由其前面的向量线性表示，那么β能由a1,a2,...ai线性表示，推出aj能由a1,a2...aj-1 线性表示，矛盾。
已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则α1,α2,α3的线性相关性?
答：莫非是剑网中人，也是线性无关的，因为如果a1,a2,a3相关，那么令a4前的系数为0就可以得到a1,a2,a3,a4,线性相关，矛盾了。简单的结论就是整体无关，则局部无关，局部相关，则整体相关
线代题: 设向量组α1,α2……αm与向量组α1,α2…αm,β的秩相等证明...
答：所以，向量组α1，α2,…，αm的极大无关组所含向量的个数 与向量组α1，α2，…，αm，β的极大无关组所含向量的个数相同 所以，α1，α2，…，αm的一个极大无关组也是α1，α2，…，αm，β的极大无关组 所以，β可由α1，α2，…，αm 线性表示 所以，α1，α2，…，αm，...
设向量组α1,α2,...αs线性无关,而向量组α1,α2,...αs,β线性...
答：仅扣定义去做就行了。（1）向量组α1,α2,...αs线性无关，而向量组α1,α2,...αs,β线性相关，那么有不全为零的数k1，k2，...，ks，k，使k1α1+k2α2+...+ksαs+kβ=0，有k不等于0，否则k1，k2，...，ks中有非零数，且k1α1+k2α2+...+ksαs=0，与向量组α1,α...
设α1,α2,……,αs是欧式空间V中的正交向量组,证:α1,α2,,αs必线...
答：反证法：假设线性相关，即存在不全为0的系数，使得 k1α1+k2α2+...+ksαs=0 对上式左右两边同时作与α1的内积，得到 （k1α1+k2α2+...+ksαs，α1）=0 也即 k1(α1,α1)+k2(α2,α1)+...+ks(αs,α1)=0 而因为向量α1,α2,……,αs都是相互正交的，则 (α2,α1...
