已知n维向量组α1 α2... αS(s≦n)线性无关，β是任意的n维向量，证明：向量组β，α1， α2... αS中

假设有两个向量ai,aj（i < j）能由其前面的向量线性表示，那么β能由a1,a2,......ai线性表示，
推出aj能由a1,a2......aj-1 线性表示，矛盾。

证明:在n维向量空间中，如果α1.α2...αn线性无关，则任一向量β可以由α1.α2...αn线性表示~

在n维向量空间中，任意n+1个向量线性相关，所以α1.α2...αn，β线性相关，设：
c1*α1+c2*α2...+cn*αn+c*β=0(其中c1，…cn，c不全为0）
若c=0，则可得α1.α2...αn线性相关，矛盾！所以c不为0，对上式变形即可知道：
β=-(c1/c)*α1-(c2/c)*α2...-(cn/c)*αn
即β可以由α1.α2...αn线性表示

这个证明不对，除非你能够证明出（1）是b的唯一表示法，否则这样是不行的。


充分性：
取n个线性无关的n维向量b1,b2,..,bn，由必要性知任一n维向量均可由b1,b2,...,bn线性表示，也就是说a1,a2,...,an可由b1,b2,...,bn线性表示。再由已知条件：b1,b2,...,bn也可由a1,a2,...,an线性表示，因此两向量组等价，因此它们的秩相同，由于b1,b2,...,bn线性无关，秩为n，因此：a1,a2,...,an的秩也为n，因此a1,a2,...,an线性无关。