八年级下册数学习题，难点的，急！！

一个任意三角形，以三遍做等边三角形，求证四边形CFDE为平行四边形。

因为三角形ACF、ADB为等边三角形，所以角FAC、DAB等于60度

所以角FAD=角CAB

AB=AD,AC=AF

所以三角形AFD全等于三角形ACB(SAS)

同理

三角形BED全等于三角形BCA(SAS)

所以，AF=AC=DE

所以 DE=CF

因为 DF=EB=BC

所以 EC=DF 

所以四边形CFDE为平行四边形

在等腰梯形ABCD中，AD//BC,∠B=45°，若AD=4㎝，AB=4根号2，是求出此梯形的周长和面积。
边长为a的正方形，若在它的一角上减去一个边长为b的小正方形，则剩下的面积为（ ）
A.a乘a B.2a乘a C.4a D.4a -2b

是奥数哟！真的很难啊。。。
地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各
取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?
不能
1、9、15、31的平均数是14
因为每操作一次改变一次奇偶性
即:第奇次操作后每堆数量是偶数
第偶次操作后每堆数量是奇数
所以,需要奇数次操作

又因为,它们除以3的余数分别是1,0,0,1,结果都是2
而每一次操作后有奇数堆(3堆)改变余数结果
所以,要有偶数堆改变余数结果需要偶数次操作
在本题中,4堆都要改变,所以需偶数次操作
矛盾,所以结果是不可能的

下面是几何

Ⅰ四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，连结EF交BD、AC于M、N，若AC=BD，求证：OM=ON

Ⅱ四边形ABCD中，E、F、P、Q分别是AD、BC、BD、AC的中点，M、N分别是PB、QC的中点，求证EF平分MN。

Ⅲ四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是AD、BC的中点，BA延长线交FE延长线于点G，CD延长线交FE延长线于点H。求证：,∠BGF=∠CHF。

Ⅳ在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，延长BC到M，N是BM的中点，H是EN的中点，连结DH交BM于F。求证：CF=FM

Ⅴ△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，E是BC中点，求证：AB=2DE

Ⅵ梯形ABCD中，AB平行DC，∠D+∠C=90°，E、F分别是AB、DC的中点，求证：EF=1／2（DC-AB）

Ⅶ已知AH是△ABC中∠BAC的角平分线，在AB、AC上分别截取BD=CE，M是DE的中点，N是BC的中点，求证：MN平行AH

Ⅸ已知，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，CM⊥BC交BD延长线于M，MF⊥AB于F。求证：BE=EF

以下主要用到平行四边形的基本性质和角平分线定理（若AD平分角BAC，交BC于D，则AB/AC=BD/BC。证明也是用中位线的。）

I 过D作AC的平行线，过C作AD的平行线，二者相交于G，延长EF交DG于H。则ACGD是平行四边形，从而对角线AG与CD互相平分，于是A、F、G三点共线且EF是三角形ABG的中位线。这样，EF平行于BG，角DMH=角DBG，角DHM=角DGB。但是DG=AC=BD，所以三角形DBG是等腰三角形，于是角DBG=角DGB，得到角DMH=角DHM。又因为DG平行于AC，角DHM=角ONM，而角DMH与角OMN是对顶角，从而角ONM=角 OMN，得到OM=ON。

II 由中位线性质可知，EPFQ是平行四边形，从而EF平分PQ。设EF交PQ于O，则ON是三角形QPC的中位线，于是ON平行于CP且 ON=1/2（CP）。另外，FM是三角形BPC的中位线，于是FM平行于CP且FM=1/2（CP）。这样，FMON是平行四边形，对角线互相平分，于是FO平分MN，也即EF平分MN。

III 将三角形DEH旋转180度，使得D与A重合。设C、H、F分别变成I，J，K。则角IKE=角CFE，从而IK平行于BF。但是BF=FC=IK，于是 BF与IK平行且相等，即：BFKI是平行四边形，于是BI平行于JG。于是角AIB=角AJG，角ABI=角AGJ。此时由于AI=CD=AB，角 AIB=角ABI，于是角AJG=角AGJ。但是角AJG=角DHE，于是角DHE=角AGJ，也即角BGF=角CHF。
方法二：连结BD,找BD中点O,,连结EO、OF。通过中位线可以得出OE平行且等于1/2AB，OF平行且等于1/2CD，所以EO=OF，通过平行加上OE=OF，可一很简单的得出角角BGF=角CHF

IV 由EH=HN知NF=DE=1/2（BC），于是CF=NF-NC=1/2（BC）-（BC-BN）=BN-1/2（BC）=1/2（BM）-1/2（BC）=1/2（BM-BC）=1/2（CM）。从而CF=FM=1/2（CM）。

VI 作B的角平分线，交AC于F。则AB/BC=AF/FC。此时角FBC=角C，于是BFC是等腰三角形。由于E是BC中点，FE垂直于BC，从而FE平行于AD。则AB/BC=AF/FC=DE/EC=DE/（1/2（BC））消去BC，得AB=2DE。

VI 过A分别作BC与EF的平行线，交CD于G、H。则由角D与角C互余可知，DAG是直角三角形。此时ABCG与AEFH均为平行四边形，故 GC=AB，HF=AE，AH=EF。则DH=DF-HF=DF-AE=1/2（DC-AB），DG=DC-GC=DC-AB。于是AH是直角三角形 DAG的中线，从而EF=AH=1/2（DG）=1/2（DC-AB）。

VII 利用III的结果，延长NM交CA于F，交BA于G。则角AFG=角DGM。但是角DGM=角FGA。于是角BAC=角FGA+角AFG=2 角AFG。从而角HAC=角AFN=1/2（角BAC），于是AH平行于FN，即MN平行于AH。

IX 设BD交CE于O。显然角OBC=角OCB，于是CO是直角三角形BCM的斜边中线，即BO=OM。此时由于MF平行于CE，可知OE为三角形BMF的中位线，于是BE=EF。

呵呵。。。希望可以帮到你

1，如果x/x^2-3x+1=7那么x^2/x^4+x^2+1的直为多少？
解：
由条件等式可知x不等于0，则
等式左边的分子分母同除以x，则
1/(x-3+1/x)=7
整理后可得 x+1/x=22/7
同理将所求分式的分子分母同除以x^2，则
原式=1/(x^2+1+1/x^2)…………(1)
因为x+1/x=22/7
两边平方可得 x^2+1/x^2=386/49
代入(1)式后，即得值为 49/435

2，当x<0时,解方程 x/(|x|-2)-|x|/(x-2)=3/(|x|+2)
解：
因为x<0,
所以原方程x/(|x|-2)-|x|/(x-2)=3/(|x|+2)变为
x/(-x-2)+x/(x-2)=3/(-x+2),
所以-x/(x+2)+x/(x-2)=-3/(x-2),
所以-x/(x+2)+(x+3)/(x-2)=0,
所以-x(x-2)/[(x+2)(x-2)]+(x+2)(x+3)/[(x+2)(x-2)]=0,
所以(-x^2+2x+x^2+5x+6)/[(x+2)(x-2)]=0,
所以(7x+6)/[(x+2)(x-2)]=0,
所以7x+6=0,
所以x=-6/7,
经检验,x=-6/7不是增根,
所以原方程的根为x=-6/7.

3，已知a、b、c均为实数，且abc不等于0，若k=c/a+b=a/b+c=b/a+c,求k的值。
解：
k=c/a+b=a/b+c=b/a+c
1/k=(a+b)/c=(b+c)/a=(a+c)/b
1+1/k=1+(a+b)/c=1+(b+c)/a=1+(a+c)/b
(1+k)/k=(a+b+c)/c=(a+b+c)/a=(a+b+c)/b
因为a、b、c均为实数，且abc不等于0
所以，a+b+c=0,或，a=b=c

a+b+c=0时，
(1+k)/k=(a+b+c)/c=(a+b+c)/a=(a+b+c)/b=0
1+k=0
k=-1

a=b=c时
(1+k)/k=(a+b+c)/c=(a+b+c)/a=(a+b+c)/b=3
1+k=3k
k=1/2

所以，k=-1,或，k=1/2

4，式子a/bc+b/ac+c/ab的值能否为0?为什么?
不能
a/bc+b/ac+c/ab=（a2+b2+c2)/abc
假设a/bc+b/ac+c/ab=0即 （a2+b2+c2)/abc=0
所以abc≠0且a2+b2+c2＝0
a2+b2＝－c2≥0（即c2≤0）①
c2≥0②
由①②c=0与abc≠0矛盾
所以a/bc+b/ac+c/ab≠0

5，若x^2+y^2+z^2+2(x-y-z)+3=0,则x^2007+y^2007-z^2007=?
解：
x^2+y^2+z^2+2(x-y-z)+3=0

(x^2+2x+1)+(y^2-2y+1)+(z^2-2z+1)=0

(x+1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=0

上式成立必须有x+1=0, x=-1
y-1=0, y=1
z-1=0, z=1

x^2007+y^2007-z^2007
=(-1)^2007+1-1
=-1

6，a/b=4/3 求0.2b/0.1a+b的值 x/1-y/1=1 求x-xy-y/3y-xy-3x的值
解：
/b=4/3则a=4/3b
0.2b/0.1a+b=2b/(a+10b)=2b/(4b/3+10b)=3/17

1/x-1/y=1 则y-x=xy

x-xy-y/3y-xy-3x=-xy-xy/-3xy-xy=-2xy/-4xxy=1/2

7，已知X^2+3x+1=0,求x^2+x^1/2。
x^2+1=-3x
两边除以x
x+1/x=-3
两边平方
x^2+2*x*1/x+1/x^2=(-3)^2
所以x^2+2+1/x^2=9
x^2+1/x^2=7

8，已知ABC=1，求A/（AB+A+1）+B/（BC+B+1）+C/（AC+C+1）
解：
已知abc=1则原式＝ac/(ac+c+1)+abc/(ac+c+1)+c/(ac+c+1)
=(ac+abc+c)/(ac+c+1)
=(ac+c+1)/(ac+c+1)=1

提示：a=1/bc b=1/ac c=1/ab

9，已知：x的平方+y的平方-6x+8y+25=0.求(y/x)+(x/y)的值.
解：
x^2+y^2-6x+8y+25=0
(x^2-6x+9)+(y^2+8y+16)=0
(x-3)^2+(y+4)^2=0
平方大于等于0
现在相加得0
若有一个大于0，则另一个小于0
不可能
所以两个都等于0
所以x-3=0,y+4=0
x=3,y=-4

y/x+x/y
=-4/3-3/4
=-25/12

10，已知（x+y)/(a-b)=(y+z)/(b-c)=(z+x)/(c-a) a≠b≠c 求证x+y+z=0
设（x y)/(a-b)=(y z)/(b-c)=(z x)/(c-a)=k

则X+ Y=K(A-B)

Y+Z=K(B-C)

Z+X=K(C-A)

所以2(X+Y+Z)=K*(A+B+C-A-B-C)=0所以X+Y+Z=0

11，3X-5=A(X+1)+B(X-3)
求A+B的值
解：
3X-5=A(X+1)+B(X-3)

3x-5=(A+B)x+(A-3B)

左右二边对应相等，则有：

A+B=3

12，若2x-3y-z=0,x+3y-14z=0且z不等于0,则(x^2+3xy)/(y^2+z^2)值为多少?
解：
2x-3y-z=0...........................①
x+3y-14z=0..........................②
①+②，得
3x=15z
x=5z
将x=5z代入①得：y=3z，
所以
(x^2+3xy)/(y^2+z^2)
=[(5z)^2+3*5z*3z]/[(3z)^2+z^2]
=70z^2/10z^2
=7

13，已知abc=1，试说明1/（ab+a+1）+1/（bc+b+1）+（ac+c+1）=1
解：
∵abc=1
∴1/（ab+a+1）+1/（bc+b+1）+1/（ac+c+1）
=1/(ab+a+1）+a/(abc+ab+a)+ab/(a^2bc+abc+ab)
=(1+a+ab)/(ab+a+1)
=1

14，x）-（1/1-x）-(2-x+x^3)/x^2-1？
解：
（x）-（1/1-x）-(2-x+x^3)/x^2-1
=x(x^2-1)/(x^2-1)+(x+1)/(x^2-1)-(2-x+x^3)/(x^2-1)
=[x^3-x+x+1-(2-x+x^3)]/(x^2-1)
=(x-1)/(x^2-1)
=1/(x+1)

15，已知3a-b/2b-a=7,x+y/2x-y=5,求ax-2by/ax+2by的值
解：
(3a-b)/(2b-a)=7
(x+y)/(2x-y)=5
把分子乘到右边得3a-b=14b-7a
x+y=10x-5y
得a=3/2b,x=2/3y。ax=by代入要求得式子
-by/3by=-1/3

16，a,b,c为△ABC三边，且满足b-c/a=c-a/b=a-b/c 问△ABC的形状
解：
利用比的性质！
(b-c)/a=(c-a)/b=(a-b)/c=0/(a+b+c)=0
b-c=c-a=a-b=0
a=b=c
△ABC是等边三角形。

17，已知x=a/(b+c) y=b/(c+a) z=c/(a+b)且a+b+c≠0，求
x/(1+x)+y/(1+y)+z/(1+z)的值
解：
(1+x)/x=(a+b+c)/a (1+y)/y=(a+b+c)/b (1+z)/z=(a+b+c)/c
x/(1+x)=a/(a+b+c) y/(1+y)=b/(a+b+c) z/(1+z)=c/(a+b+c)
所以x/(1+x)+y/(1+y)+z/(1+z)＝a/(a+b+c)＋b/(a+b+c)＋c/(a+b+c)＝1

18，若a+1/a=2,则a2+1/a2的值为多少？a8+1/a8的值？
解：
将 a+1/a=2左右两边平方得：
a2+2+1/a2=4 即：a2+1/a2=2
再将 a2+1/a2=2 左右两边平方得:
a4+2+1/a4=4 即： a4+1/a4=2
将 a4+1/a4=2 左右两边平方得：
a8+2+1/a8=4 即得：a8+1/a8=2

19，分子：(1^4 + 1/4)(3^4 + 1/4)(5^4 + 1/4)...(19^4 + 1/4)
分母：(2^4 + 1/4)(4^4 + 1/4)(6^4 + 1/4)...(20^4 + 1/4)
解：
1^4 + 1/4)/(2^4 + 1/4) 这是其中的一个式子,其它的式了都和它相似,

(1^4 + 1/4)/(2^4 + 1/4) 可以用这样的表达式来代替

(x^4 + 1/4)/((x+1)^4 + 1/4) 用x代替1了,用x+1代替2了

=(4x^4 + 1)/(4(x+1)^4 + 1) 分子分母都乘4

=(4x^4 + 1+4x^2-4X^2)/(4(x+1)^4 + 1+4(x+1)^2-4(x+1)^2) 要分解因式了

=(2x^2+1+2x)(2x^2+1-2x)/(2x^2+1+2x)(2x^2+5+6x)

=(2x^2+1-2x)/(2x^2+5+6x) 这个是否明白,很重要

(3^4 + 1/4)/(4^4 + 1/4)

=((x+2)^4 + 1/4)/((x+3)^4 + 1/4)

=(2x^2+5+6x)/((2x^2+41+18x)

两者相乘,分母 分子 (2x^2+5+6x)被消掉了

同理,往下分子分母依次相消,最后只剩下一个分子(2x^2+1-2x)和一个分母(这个还没算)

当x 为 x+19时 (2x^2+5+6x)为2(x+19)^2+5+6*(x+19)=2x^2+82x+836 就是最后一个没消除的分母,好好理解吧.这一步是怎么得的,不明白,你这个题做起来就没什么意思了

所以最后化简得

(2x^2+1-2x)/(2x^2+82x+836)

再把x=1代进去吧

(2+1-2)/(2+82+836)=1/920

20，根据:
b-a/ab=1/a-1/b
求:
1/x(x+3)+1/(x+3)(x+6)+......+1/(x+27)(x+30)
解：
1/x(x+3)+1/(x+3)(x+6)+......+1/(x+27)(x+30)
=1/3(1/x-1/(x+3)+1/(x+3)-1/(x+6)+..+1/(x+27)-1/x+30)
=1/3(1/x-1/(x+30)
=10/x(x+30)

去找本资料就ok了

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