线性方程组详细资料大全
线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组(例如2元1次方程组）。对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。
线性方程组有广泛套用，熟知的线性规划问题即讨论对解有一定约束条件的线性方程组问题。
基本介绍
- 中文名 ：线性方程组
- 外文名 ：linear system of equations
- 记载 ：九章算术》方程章中。
- 包括 ：系数，常数项
- 分类 ：数学
- 时间 ：公元初
简介
线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组(例如2元1次方程组）。对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。 线性方程组有广泛套用，熟知的线性规划问题即讨论对解有一定约束条件的线性方程组问题。定义
xj表未知量，aij称系数，bi称常数项。 称为系数矩阵和增广矩阵。若x1=c1，x2=c2，…，xn=代入所给方程各式均成立，则称（c1，c2，…，）为一个解。若c1，c2，…，不全为0，则称（c1，c2，…，）为非零解。若常数项均为0，则称为齐次线性方程组，它总有零解（0，0，…，0）。两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组。线性方程组主要讨论的问题是： ①一个方程组何时有解。 ②有解方程组解的个数。 ③对有解方程组求解，并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决：所给方程组有解，则秩(A）=秩（增广矩阵）；若秩(A）=秩=r，则r=n时，有唯一解；r<n时，有无穷多解；可用消元法求解。 当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有 ，即不一定有解。 克莱姆法则（见行列式）给出了一类特殊线性方程组解的公式。n个未知量的任一齐次方程组的解集均构成n维空间的一个子空间。解法
①克莱姆法则.用克莱姆法则求解方程组 有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的行列式要不等于零。用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系，但由于求解时要计算n+1个n阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，很少用于具体求解。 ②矩阵消元法.将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵 ，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。 关于未知量是一次的方程组，其一般形式为 ⑴ 式中 x 1， x 2，…， x n代表未知量， α ij(1≤ i ≤m,1≤ j ≤ n )称为方程⑴的系数， b i(1≤ i ≤m）称为常数项。系数和常数项都是任意的复数或某一个域的元素。 当常数项 b 1， b 2，…， b n都等于零时，则方程组⑴称为齐次线性方程组。 方程组⑴的系数所构成的m行 n 列矩阵 线性方程组 称为方程组⑴的系数矩阵。在 A 中添加由常数项组成的列而得到一个m行 n +1列矩阵 线性方程组 称为方程组⑴的增广矩阵。 如果在方程组⑴中，以一组复数或域 F 的元素с1,с2，…，сn代替未知量 x 1， x 2，…， x n，每一个方程的两端相等，那么с1，с2，…，сn称为方程组⑴的一个解。 关于线性方程组，有以下主要结果。 ①线性方程组⑴有解的充分必要条件是，系数矩阵 A 与增广矩阵都有相同的秩。 ②在 A 与都有相同的秩 r >0的情形下， A 有一个 r 阶子式 D 不等于零，设 线性方程组 于是方程组⑴与仅含有前 r 个方程的方程组同解。可将前 r 个方程改写为 ⑵ 方程组⑵的一般解公式为 x 1= D 1/ D , x 2= D 2/ D ，…， x r= D r/ D ， ⑶ 式中 D j( j =1,2，…， r ）是把 D 的第 j 列换成方程组⑵的右端的列所得到的一个 r 阶行列式，即 线性方程组 因而 x 1, x 2，…， x r可由其余的未知量 x r+1, x r+2，…， x n线性表出， x r+1， x r+2，…， x n称为自由未知量。 当 r < n 时，则任意给自由未知量的一组值，由⑶可求出 x 1， x 2，…， x r的值即方程组⑴的一个解，此时方程组⑴的解不只一个。当 r = n 时，则方程组⑵不含自由未知量，由⑶给出方程组⑴的惟一解。当m= n = r 时，公式⑶称为克莱姆规则。 线性方程组是最简单也是最重要的一类代数方程组。大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组，因此线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。
~
线性方程组详细资料大全
答：对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。 线性方程组有广泛套用，熟知的线性规划问题即讨论对解有一定约束条件的线性方程组问题。 定义 xj表未知量，aij称系数，bi称常数项。 称为系数矩阵和增广矩阵。若x1=c1，x2=c2，…，xn=代入所给方程各式均成立，...
齐次线性方程组详细资料大全
答：齐次线性方程组：常数项全部为零的线性方程组。如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。基本介绍 中文名 ：齐次线性方程组 外文名 ：homogeneous linear equations 学科 ：线性代数 属性 ：常数项全部为零的线性方程组 求...
什么叫齐次线性方程组?
答：常数项全为0的n元线性方程组 称为n元齐次线性方程组。设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r，则它的方程组的解只有以下两种类型：（1）当r=n时，原方程组仅有零解；（2）当r<n时，有无穷多个解（从而有非...
线性方程组求解
答：本文将介绍线性方程组的求解方法,帮助读者更好地理解和掌握该知识点。线性方程组的定义线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。求解线性方程组的方法对于二元一次线性方程组,可以通过消元法求解。具体来说,可以将其中一个方程的某个系数乘以一个常数,使得该系数与另一个方程中对应的系数相等,然后将两个...
线性方程组有哪几个解?
答：1、当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均等于方程组中未知数个数n的时候，方程组有唯一解；2、当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均小于方程组中未知数个数n的时候，方程组有无穷多解；3、当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解；4、若n...
齐次线性方程组的定义是什么?
答：在一个线性代数方程中，如果其常数项(既不含有未知数的项)为零，就称为齐次线性方程。如果常数项不为零的话或者不全为0，那么该线性方程为非齐次线性方程。齐次线性方程组：齐次线性方程组的表达式为Ax=0;非齐次线性方程组：非齐次线性方程组的表达式为Ax=b。
齐次线性方程组与非齐次线性方程的区别是什么?
答：在一个线性代数方程中，如果其常数项(即不含有未知数的项)为零，就称为齐次线性方程。区别：1、常数项不同：齐次线性方程组的常数项全部为零，非齐次方程组的常数项不全为零。2、表达式不同：齐次线性方程组表达式 ：Ax=0；非齐次方程组程度常数项不全为零： Ax=b。
求线性方程组的基础解系和通解
答：r3-7r1 得:1 1 -1 -1 0 -7 5 0 0 -14 10 9 r3-2r2:1 1 -1 -1 0 -7 5 0 0 0 0 9 矩阵的秩为3,n=4,基础解劝系含一个解劝向量.可取x3为自由未知量,可任给x3以非零值,而求得一解劝,即的基础解系。取x3=7,得解向量:z=( 2, 5, 7, 0)而通解为:X=kz....
线性方程组求解
答：本文将介绍线性方程组的求解方法,帮助读者更好地理解和掌握该知识点。方程组给定线性方程组3X-5Z=6和X+4Z=-15,需要求解X和Z的值。消元求解通过消元的方法,将方程组化为3x+12z=-45和17z=-51两个方程。燐解方程通过解方程17z=-51,得到z=-3。代入求解将z=-3代入X+4Z=-15,得到x=-3...
线性代数方程组问题 怎么取的自由未知量,怎么代回的方程
答：一、系数矩阵 A 行初等变换化为 B，实际上就是线性方程组同解变形为 x1 +x2 -3x4-x5 = 0 -2x2+2x3+2x4+x5 = 0 3x4-x5 = 0 r(A) = 3, 未知数个数 n = 5 应有 5 - 3 = 2 个自由未知量，即基础解系含有 2 个线性无关的解向量。每个独立方程均含 x5， 则 x5 可设为...
