高等数学函数有界无界问题(求大神详解) 高数基础问题，判断函数有界无界

|f(x)|<=|xexp(-x^2)|，讨论右边的函数g(x)=xexp(-x^2) ,x>=0的有界性即可。

g'(x) = (1-2x^2)exp(-x^2)，当x<sqrt(2)/2 g'(x)>0 g(x)单增，当x>sqrt(2)/2 g'(x)<0 g(x)单减，因此g(x)在x=sqrt(2)/2取得最大值，也即是f(x)有界。

函数的有界性

设函数f(x)的定义域为D，f(x)在集合D上有定义。

如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。

反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。

判断一个函数f(x)在区间(a,b)内的有有界性(区间可以是(–∞，+∞))，这里假设f(x)在(a,b)内连续，由连续函数的性质，f(x)在(a,b)的任何闭的子区间上都有界，因此f(x)在(a,b)内是否有界就取决于f(x)在a，b两点的右极限和左极限是否存在(函数极限的局部有界性)，当且仅当上述两个极限都存在，函数在(a,b)内有界。本题中函数的连续性没有问题，因此有没有界就看x–>+∞和x–>–∞是否存在，这个题目中因为极限都是0，因此两个极限可以一起考虑，即讨论。x–>∞这个极限，先求极lim(x–>∞)xe^(–x^2)=limx/e^(x^2)=lim1/2xe^(x^2)=0(罗必塔法则)，xe^(–x^2)是无穷小量，sin(x^2)是有界函数，根据无穷小量的性质，f(x)还是无穷小量，极限存在为零 ，所以有界。

|f(x)|<=|xexp(-x^2)|
讨论右边的函数g(x)=xexp(-x^2) ,x>=0的有界性即可
g'(x) = (1-2x^2)exp(-x^2)
当x<sqrt(2)/2 g'(x)>0 g(x)单增
当x>sqrt(2)/2 g'(x)<0 g(x)单减
因此g(x)在x=sqrt(2)/2取得最大值
也即是f(x)有界

高数中有界与无界的问题~

有界量是指随便自变量怎么变，函数值变来变去永远限制在某一范围内。
无界量就是函数值可以要多大，就能达到多大，也就是函数的值域能达到无穷大。

举例说明：
y = sinx |y|≤1, y 就是有界量

当 x --> 0 时， y = 1/x 可以得到任何数，y --> ∞, y 就是无界量

注意：无界量不是无穷大！
无穷大是指一个过程，y 越来越大，要多大有多大。

无界量不一定越来越大，可能是周期性的变得越来越大，其间可能还有
其他值，甚至0的情况。

如 y = x sin(1/x), 在x倾向于无穷大时，是无界量，但不是无穷大。

因为x=0的时候分母是0，所以你据此判断，x非常接近0的时候，分母非常接近0，于是整个函数接近无限大，你想要多大就能有多大，因此就是无界换一句话来说，你随便找一个足够大的正数M，你总可以找到一个x使得f‘（x)=M，这也就是“想要多大就有多大”的数学解释

如何判断函数是否有界?
答：3、运算规则判定：在边界极限不存在时，有界函数 ±± 有界函数 = 有界函数 （有限个，基本不会有无穷个，无穷是个难分高低的状态）有界 x 有界 = 有界。4、函数极限判断：因为函数在开区间上连续，所以在开区间内部的任一闭区间上函数都有界。能不能再扩大到整个开区间上也有界，关键是看函数在右...

函数的有界性疑问?
答：由于f(x)、g(x)都是初等函数的组合，所以在有定义处必然连续，连续必有界，所以只需要讨论无定义点处函数值，再去判断是否有界。f(x)在x=0和∞处均是固定值，所以f(x)有界；而g(x)在x→0时，极限振荡无穷大，所以无界，至于为什么振荡无穷大，是因为x→0时，1/x→∞，而sin(1/x)极限不...

函数极限及函数有无界的问题
答：但不能说是无穷大，无穷小也是一种情况，因此只能说 函数无界 函数极限不存在 第二个结论是错误的，很容易找到反例，f={1，-1,1，-1,1，-1...},因为该函数为1，-1交替的函数因此不存在极限，但存在sup（f）即最小上界为1，最大下界inf（f）为-1，因此该函数有界但却不存在极限。

高等数学求帮忙
答：答：这道题的正确答案应该是(A)和(D)；因为(D)的结论是条件的重复。从提问者举例说明来说，例子是错误的，说明审题还存在问题。因为函数有界，而y=x无界。对于（A），当x→+∞， 存在 0<|△x| =|(x+△x)-x |<2; 使|f(x+△x)-f(x)|<|f(x)| 成立。则f'(x)=lim(x→+∞...

怎么判断函数是否有界
答：函数是否有界的应用场景：1、数学分析：在数学分析中，函数的有界性是研究函数性质的重要方面。对于有界函数，我们可以更方便地进行极限、导数和积分等运算，进而研究函数的性态和图像。例如，在研究函数的收敛性时，通常需要判断函数是否有界，以确定级数或积分的收敛性。2、优化问题：在优化问题中，目标...

怎样判断函数是否有界
答：有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上下界，则意味着值域ƒD是一个有上下界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上下确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。学数学的好处 1、解决生活中的问题，能够学以致用，实现生活需要，促进主体发展。2、培养...

函数的有界和无界
答：|sin(1/x)|≤1 =>sin(1/x):有界

一个函数怎么确定有无界?
答：如果一个函数f(x),对任何大的N，存在x，使得f(x)＞N，f(x)就是无界。如果存在一个M，对任何x, |f(x)|≤M，这函数就有界 你举的例子，cos^(2/x)，这函数的绝对值≤1，所以他是有界的

怎样判断函数的有界性?
答：值域是有限区间的函数，是有界函数。值域是无限区间的函数是无界函数。例如，正弦函数y=sinx，对任意x∈(-∞，+∞)，|sinx|≤1恒成立，所以y=sinx是R上的有界函数。有的函数在定义域的部分区间上可能是有界的.例如，一次函数y=2x+1，定义域(-∞，+∞)，值域(-∞，+∞).它在定义域(-∞，+...

高等数学里的“有界”“无界”是什么意思啊?
答：有界量是指随便自变量怎么变，函数值变来变去永远限制在某一范围内。无界量就是函数值可以要多大，就能达到多大，也就是函数的值域能达到无穷大。举例说明：y = sinx |y|≤1, y 就是有界量 当 x --> 0 时， y = 1/x 可以得到任何数，y --> ∞, y 就是无界量 注意：无界量不是无穷...