如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB= ，点E是棱PB的中点． (Ⅰ)证明：AE⊥平面 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面A...
| (Ⅰ)证明：如图，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB， 又PA=AB，故△PAB为等腰直角三角形， 而点E是棱PB的中点，所以AE⊥PB， 由题意知BC⊥AB， 又AB是PB在面ABCD内的射影， 由三垂线定理得BC⊥PB， 从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE， 因为AE⊥PB，AE⊥BC， 所以AE⊥平面PBC． (Ⅱ)由(Ⅰ)知BC⊥平面PAB，又AD∥BC， 得AD⊥平面 PAB，故AD⊥AE， 在Rt△PAB中， 1， 从而在Rt△DAE中， ， 在Rt△CBE中， ， 又 ， 所以△CED为等边三角形， 取CE的中点F，连接DF，则DF⊥CE， 因BE=BC=1，且BC⊥BE，则△EBC为等腰直角三角形， 连结BF，则BF⊥CE， 所以∠BFD为所求的二面角的平面角， 连接BD， 在△BFD中， ， 所以， ， 故二面角B-EC-D的平面角的余弦值为 。 |
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB= ，点E是棱PB的中点。 （1）~
解：（1）证明：如图，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB又PA=AB，故△PAB为等腰直角三角形，而点E是棱PB的中点，所以AE⊥PB由题意知BC⊥AB，又AB是PB在面ABCD内的射影，由三垂线定理，得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE因AE⊥PB，AE⊥BC，所以AE⊥平面PBC。（2）由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，在Rt△PAB中， ， 从而在Rt△DAE中， 在Rt△CBE中， 又 ，所以△CED为等边三角形取CE的中点F，连接DF，则DF⊥CE因BE=BC=1，且BC⊥BE，则△EBC为等腰直角三角形，连接BF，则BF⊥CE，所以∠BFD为所求的二面角的平面角连接BD，在△BFD中， 所以 故二面角B-EC-D的平面角的余弦值为 。
解：（1）如图，在矩形ABCD中，AD∥BC，从而AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，由PA=AB知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB又在矩形AB-CD中，BC⊥AB，而AB是PB在底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE从而AE⊥平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离，在Rt△PAB中， 所以 ；（2）过点D作DF⊥CE，交CE于F，过点F作FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而 在Rt△CBE中， 由 所以△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD· 因为AE⊥平面PBC，设AE⊥CE，又FG⊥CE，知 从而 ，且G点为AC的中点连结DG，则在Rt△ADG中， 所以 。
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧 ...
答：（1）证明：在底面菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD边的中点，所以BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BG⊥平面PAD．（2）证明：连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD边的中点，得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD，PG?平面PGB，BG?平面PGB，PG∩BG=G，所以AD⊥平面PGB，因为PB?
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC...
答：取PD的中点G，连接FG,AG,则 FG//1/2CD,AE//1/2CD ∴FG//AE且FG=AE ∴四边形AEFG是平行四边形 ∴EF//AG ∴EF//平面PAD (2)∵底面ABCD是矩形 ∴CD⊥AD ∵侧棱PA垂直于底面 ∴CD⊥面PAD ∴CD⊥PD ∴∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成的二面角 ∵EF⊥面PCD ∴EF⊥CD 又EF//AG ∴AG...
如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD是平行四边形,点E,F为PA,PD中点,则面...
答：体积比=3:5 有点不太好想，需要分成几部分看 如图分割后，形成几部分 所求的下部分=四棱锥F-ABCD体积+三棱锥E-ABF体积 F是PD中点 ∴P到底面的距离=F到底面的距离*2 ∴四棱锥F-ABCD体积=1/2总体积 三棱锥P-ABD体积=1/2总体积 即三棱锥B-APD体积=1/2总体积 E是AP中点，F是PD中点 ∴...
如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=根号2...
答：∵PA⊥底面ABCD且AB∈底面ABCD ∴PA⊥AB ∵PA=AB 且E为PB的中点 ∴AE⊥PB ∵底面ABCD是矩形 ∴AB⊥BC ∵PA⊥底面ABCD BC∈底面ABCD ∴PA⊥BC ∵AB∈平面PAB ，PA∈平面PAB ∴BC⊥平面PAB ∵AE∈平面PAB ∴BC⊥AE ∵BC与PB∈平面PBC ∴AE⊥平面PBC ...
如图,在四棱锥p -ABCD中底面 ABCD是正方形,侧面PAD 是正三角形,平面PA...
答：证明，过P做PM垂直AD于M，因为平面PAD垂直底面ABCD且AD为交线，所以PM垂直平面ABCD，即PM垂直AB。又ABCD是正方形，AB垂直AD，所以AB同时垂直平面PAD内相交的两条直线PM和AD，所以AB垂直平面PAD，因此平面PAB垂直PAD
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB垂直BC,AB平行CD,
答：取AD，AB中点I,H 连接EI，EH，HI E为PB中点 PA垂直底面ABCD ∴EH||PA EH=1/2PA EH⊥面ABCD ∴EH⊥AD AB=2BC=2CD=2 AB垂直BC ∴AH=HD=1 ∴HI⊥AD ∴AD垂直平面EIH ∴AD⊥EI ∴∠EIH是二面角E-AD-B的平面角=60° tan60°=EH/HI HI=1/2AD=√2/2 EH=√6/2 PA=a=2EH=√...
如图,在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为正方形,且PD垂直平面ABCD,PD=AB=1...
答：1.取PC中点H，连接DH、HE，易见DH⊥PC，DH⊥BC，∴DH⊥面PBC ∵HE∥BC，HE=BC/2，∴HE∥DF，HE=DF，故EF∥DH，∴EF⊥面PBC 2.连接AC、BD，设二者交于O 连接EO，显然EO∥PD，∴EO⊥面ABCD，从而EO⊥FC 在△EFC中作EG⊥FC于G，连接OG，则FC⊥面EGO，故∠EGO为二面角B-FC-E的平面...
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB= ,BC=1...
答：解：（1）取AD中点F，连接EF、BF，则EF//PA，由侧棱PA⊥底面ABCD，∴EF⊥底面ABCD，则∠EBF为BE与平面ABCD所成角，∴在△EBF中，EF=1，BF= ，tan∠EBF= ，即直线BE与平面ABCD所成角的正切值为 。（2）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则 ，连PF，则在Rt△ADF中， ， ...
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA垂直底面ABCD,且PA等于AB...
答：(1)因PA垂直底面ABCD，所以PA垂直BD 又因底面ABCD为正方形，所以BD垂直AC PA、AC是在平面PAC内 因此BD垂直平面PAC （2）45度 PA垂直底面ABCD 角PAD为90度 又因PA=AB，底面ABCD为正方形 所以PA=AD 三角形PAD为等腰直角三角形 角PDA=45度 因AD平行BC 所以直线BC与PD所成的角为45度 ...
(2014?上海模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD...
答：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，高PA=2，BC=AD=2，AB=1，∴S△ABC=12×2×1=1．故VP-ABC=13×SABC×PA=13×1×2＝23．（2）∵BC∥AD，∴∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，于是在Rt△CEB中，...
