设f(x)在【0,1】上有二阶导数，f(1)=0,F(x)=x^2f(x),证明在（0,1）内至少有一点的二阶导数等于0.

f(1)=0
F(1)=1^2*f(1)=0
F(0)=0
所以根据罗尔定理,存在0<e<1,F'(e)=0
F'(x)=2xf(x)+x^2f'(x)
F'(0)=0
再次根据罗尔定理,并注意到f(x)在【0,1】上有二阶导数
0<e1<e<1，
F‘'(e1)=0
所以在（0,1）内F(x)至少有一点的二阶导数等于0.

若f(x)在〔0,1〕上有二阶导数，且f(1)=0，设F(x)=x^2f(x)，证明：在(0,1~

证明：


∵f(x)在[0,1]上有二阶导数。
∴f(x)及f'(x)在[0,1]上连续可导。
∴F(x)及F'(x)在[0,1]上也连续可导又f(0)=f(1)=0。
∴F(0)=0*f(0)=0, F(1)=f(1)=0。
由罗尔定理知在(0,1)内至少存在一点ξ1，使F'(ξ1)=0又F'(x)=f(x)+xf'(x)。
且f(0)=f(1)=0。
∴F'(0)=f(0)+0*f'(0)=0。
∴F'(0)=F'(ξ1)=0。
∴由罗尔定理知在(0,ξ1), 即(0,1)内至少存在一点m，使F''(m)=0。

由罗尔定理，F（1）=F（2）=O，所以在〔1，2〕上必有一点§使得F'（§）=O。又函数不为常数，§不等于1，又F'（1）=O，所以在（1，§）必上有一点a使得F''（a）=O

设函数f(x)在[0,1]上有二阶导数,且f(1)=0,若F(x)=x2f(x),则在(0,1...
答：【答案】：由F(x)=x2f(x)，得F(0)=F(1)=0．根据题设知，F(x)在[0，1]上满足罗尔定理条件，故至少存在一点c∈(0，1)，使F'(c)=0．又F'(x)=2xf(x)+x2f'(x)，F'(0)=0对F'(x)在[0，c]上应用罗尔定理，则至少存在一点ξ，使F"(ξ)=0．

设f(x)在【0,1】上有二阶导数,f(1)=0,F(x)=x^2f(x),证明在(0,1)内至...
答：所以根据罗尔定理,存在0<e<1,F'(e)=0 F'(x)=2xf(x)+x^2f'(x)F'(0)=0 再次根据罗尔定理,并注意到f(x)在【0,1】上有二阶导数 0<e1<e<1，F‘'(e1)=0 所以在（0,1）内F(x)至少有一点的二阶导数等于0.

设f(x)在[0,1]上有二阶导数,f(0)=f(1)=f(0)=f(1)=0,证明存在ξ∈(0,1...
答：【答案】：设F(x)=[f(x)+f'(x)]e-x，由题设可知F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1),由罗尔定理可知至少存在一点ξ∈(0，1)，使F'(ξ)=0，又F'(ξ)=[f'(x)+f"(x)]e-x-[f(x)+f'(x)]e-x=[f"(x)-f(x)]e-x由于e-ξ≠0，可知有f"...

设f(x)在[0,1]上有二阶导数,且f''(x)>0则 f'(1),f'(0),f(1)-f(0...
答：证明：∵f(x)在[0,1]上有二阶导数 ∴f(x)及f'(x)在[0,1]上连续可导 ∴f(x)及f'(x)在[0,1]上也连续可导又f(0)=f(1)=0 ∴f(0)=0*f(0)=0,f(1)=f(1)=0 由罗尔定理知在(0,1)内至少存在一点ξ1，使f'(ξ1)=0又f'(x)=f(x)+xf'(x)且f(0)=f(1)=0 ∴...

f(x)在[0,1]上有二阶导数 f(0)=f(1)=0 f"(x)的绝对值≤M 求证 f'(x...
答：任取x,由泰勒公式：f(0)=f(x)+f'(x)(-x)+f''(a)x^2/2f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+f''(b)(1-x)^2/2x相减得：0=f'(x)+f''(b)(1-x)^2/2-f''(a)x^2/2|f'(x)|=|f''(b)(1-x)^2/2-f''(a)x^2/2|《0.5M((1-x)^2+x^2)...

f(x)在[0,1]具有二阶导数,f(x)的绝对值小于等于a,f(x)的二阶导数的绝对...
答：f(0)=f(x)+f'(x)(0-x)+1/2*f''(x1)(0-x)^2 ,x1介于0和x之间 所以f(1)-f(0)=f'(x)+1/2*f''(x0)(1-x)^2-1/2*f''(x1) x^2 所以|f'（x）|≤|f(1)|+|f(0)|+1/2*|f''(x1)|x^2+1/2*|f''(x0)|(1-x)^2≤2a+b/2[x^2+(1-x)^2]≤...

若f(x)在[0,1]上有二阶导数,且f(1)=f(0)=0,F(x)=x^2f(x),证明在(0,1...
答：F(x)=x^2f(x)F(0)=0 F(1)=0 所以在(0,1)内至少有一点ξ1,使得F'(ξ1)=0。F'(x)=2xf(x)+x^2f'(x)F'(ξ1)=0 F'(0)=0 所以在(0,ξ1)内至少有一点a,使得F''(a)=0。就是两次运用罗尔定理

f(x)在【0,1】上二阶可导,且f(0)=0,f(1)=1,f(x)在0的导数等于1,在1的...
答：又由lim{x → 0} f(x)/x = 1 > 0, 根据极限保序性, 存在0 < s < 1使f(s)/s > 0, 进而有f(s) > 0.同理, 由lim{x → 1} f(x)/(x-1) = 2可得f(1) = 0, 且存在0 < t < 1使f(t) < 0.而f(x)在[0,1]连续, 由介值定理, 存在ξ ∈ (0,1)使f(ξ)...

f(x)在[0,1]上有二阶导数 f(0)=f(1)=0 f"(x)的绝对值≤M
答：f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+f''(b)(1-x)^2/2 x相减得：0=f'(x)+f''(b)(1-x)^2/2-f''(a)x^2/2 |f'(x)|=|f''(b)(1-x)^2/2-f''(a)x^2/2|《0.5M((1-x)^2+x^2)现考虑g(x)=((1-x)^2+x^2),g'(x)=2(x-1)+2x=4x-2 x=1/2为极值点 ...

f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数,且f(0)=f(1)=0,f(x)不恒等于零,证明∫...
答：证明：因为（0，1）上f（x）≠0，所以可设：f（x）＞0，而f（0）=f（1）=0，并且f（x）在[0，1]上具有二阶连续导数，∃x0∈（0，1），对f（x0）有：∫ （1，0)|f″(x) /f(x)|dx＞1/f(x0) ∫(1,0)|f″(x)|dx…① 在（0，x0）上应用拉格朗日定理：f′(α...