设A是n阶方阵且A2=A,求证:En-2A是可逆矩阵
「线性代数」设A,D都是n阶可逆方阵，C是任意n阶方阵，证明（第2题）求过程或详细方法~
A 0
C D
A⁻¹ 0
-D⁻¹CA⁻¹ D⁻¹
两矩阵相乘（分块矩阵乘法，类似于普通矩阵乘法）=
AA⁻¹ 0
CA⁻¹+D(-D⁻¹CA⁻¹) DD⁻¹
即
E 0
CA⁻¹-DD⁻¹CA⁻¹ E
也即
E 0
CA⁻¹-CA⁻¹ E
得到
E 0
0 E
是单位矩阵
因此两矩阵互为逆矩阵。
于是得证。
A^2+2AB+B^2=0,A(A+2B)=-B^2,-(B^-1)^2A(A+2B)=I（I是单位阵）,从而A+2B可逆,其逆矩阵为-(B^-1)^2A；-A(A+2B)(B^-1)^2=I,从而A可逆,其逆矩阵为-(A+2B)(B^-1)^2
设A是n阶方阵且A2=A,求证:En-2A是可逆矩阵
答：你好！(En-2A)(En-2A)=En-4A+4A^2=En，所以En-2A可逆且逆矩阵就是En-2A。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！
设n阶方阵A满足A2=A(称这样的方阵A为幂等方阵).证明:r(A)+r(A-E)=n.
答：【答案】：证 由A2=A，有A(A-E)=O，故由3-50题，有r(A)+r(A-E)≤n (3-46)又因A+(E-A)=E，故由3-33题，有r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n (3-47)综合(3-46)及(3-47)式，即得r(A)+r(A-E)=n.设A为n阶幂等方阵，且0＜r(A)＜n，设...
设A为n阶方阵,且A2=A,证明:若A的秩为r,则A-E的秩为n-r,其中E是n阶单位...
答：因为：A2=A，所以：A（A-E）=0，则：r（A）+r（A-E）≤n，又因为：r（A）+r（A-E）=r（A）+r（E-A）≥r（A+E-A）=r（E）=n，所以：r（A）+r（A-E）=n，则：r（A-E）=n-r，证毕．
设A是n阶方阵,且A2=A,证明A+E可逆
答：由A^2=A知道A的特征值只能是1和0 若|A+E|=0，则-1是其特征值，这不可能 所以|A+E|≠0，即可逆
设A是N阶方阵,若A2=A,,证A不是可逆矩阵或者A=I
答：这类题目的结论是 或者A或者B,证明方法是否定一个,推出必有另一个.证明: 若A可逆, (否定A不可逆)由 A^2=A, 等式两边左乘A^-1 得 A=I.故 A不可逆 或 A=I.
设A是N阶方阵,若A2=A,且A不等于E,证A不是可逆矩阵
答：假设A可逆，于是E=A*A^-1=A^2*A^-1=A*A*A^-1=A,矛盾，所以假设不成立
设A为n阶方阵,且A2=A,则R(A)+ R(A- E) =
答：求法很多，用一种最简单的：解：根据秩的不等式：R(A)+R(A-E) -n ≤ R[A(A-E)]=R(A^2-A)又因为：A^2=A，即A^2 - A =0(零阵)因此：R(A)+R(A-E) -n ≤ R[A(A-E)]=R(A^2-A) = 0 即：R(A)+R(A-E) ≤ n 又易知R(E-A)=R(A-E)，则：R(A)+R(...
划线部分的疑问A☆=At 为什么能证出A2=A
答：两个重要结论：(1)A是n阶方阵，则 |A*|=|A|^(n-1)(2)|A^T|=|A| 本题中，n=3，所以，|A|^2=|A|
还有几道题能帮忙解答下吗?
答：点击看大图 第二题直接套公式吧
求证,正定矩阵的行列式严格大于零
答：根据正定矩阵的定义，各阶顺序主子式都大于0，因此行列式必然大于0
