正方形ABCD所在平面与正方形BEFC所在平面互相垂直，M、N分别为BC、CD中点，求AN与与EM所成角的余弦值 已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，...
余弦定理（第二余弦定理）
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识
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余弦定理性质
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——
a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosA
b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB
c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC
cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)
cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c)
cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)
（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）
第一余弦定理（任意三角形射影定理）
设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。
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余弦定理证明
平面向量证法
∵如图，有a+b=c (平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小） ∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)
（以上粗体字符表示向量）
又∵Cos(π-θ)=-Cosθ
∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）
再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
即 CosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b
同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。
平面几何证法
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2
b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
编辑本段
作用
(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角
(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。
(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。)
判定定理一(两根判别法)：
若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取
减号的值
①若m(c1,c2)=2,则有两解
②若m(c1,c2)=1,则有一解
③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。
注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。
判定定理二(角边判别法):
一当a>bsinA时
①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时，则有两解
②当b>a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)
③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时，则有一解
④当b=a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)
⑤当b<a时，则有一解
二当a=bsinA时
①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解
②当cosA<=0(即A为直角或钝角)时，则有零解(即无解)
三当a<bsinA时,则有零解(即无解)
解三角形公式例如：已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角。
解 设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.
由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角。由余弦定理
cos A=0
所以∠A=90°.
再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之长。
解 由余弦定理可知
BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A
=4+9-2×2×3×cos60
=13-12x0.5
=13-6
=7
所以BC=√7. (注：cos60=0.5,可以用计算器算）
以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。
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其他
从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。
解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理。
30° 45° 60°
Sin 1/2 √2/2 √3/2
Cos √3/2 √2/2 1/2
Tan √3/3 1 √3
望采纳＝v ＝
你确定没算错么？
如图，正方形ABCD所在平面与直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AE⊥AB，设M，N分别是DE，AB的中点，已知A~
（Ⅰ）证明：取EC中点F，连接MF，BF．∵MF为△CDE的中位线，∴MF∥CD，MF＝12CD；又∵NB∥CD，NB＝12CD，∴NB∥MF，NB=MF∴四边形NBFM为平行四边形，∴MN∥BF，又∵BF?平面BEC，MN?平面BEC，∴MN∥平面BEC；（Ⅱ）∵MN∥平面BEC，∴VE?BMC＝VM?BEC＝VN?BEC＝VC?BEN＝13S△BEN?CB＝13×12×2＝13∵AB⊥AD，AB⊥AE，∴AB⊥平面EAD，∴AB⊥AM，则MB＝MA2+AB2＝(12DE)2+AB2＝(52)2+22＝212∵CD∥AB，∴CD⊥平面EAD，故CD⊥DM，则MC＝<div style="width: 6px; background-image: url(http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/aa64034f78f0f736dcbbf8b50955b319ebc41338.jpg); background-attachment: initial; background-origin: initial; background-clip: initial; background-color: initial; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; height: 19px; background-position: initial initial; background-repeat: no-
证明：（1）在平面ABC中，作MG ∥ AB，在平面BFE中，作NH ∥ EF，连接GH∵AM=FN∴MC=NB∵ MG AB = MC NC = NB EF ∴ MG ∥ . . NH ∴MNHG为平行四边形；∴MN ∥ GH又∵GH?面BEC，MN ≠ ? 面BEC∴MN ∥ 面BEC（2）∵AB⊥BC，AB⊥BE∴AB⊥面BEC∵GH?面GEC∴AB⊥GH∵MN ∥ GH∴MN⊥AB（3）∵面ABCD⊥面ABEF∴BE⊥面ABCD∴BE⊥BC∵BG= x 2 ，BH= 2 a-x 2 ∴MN=GH= B G 2 +B H 2 = x 2 + x 2 -2 2 ax+2 a 2 2 = x 2 - 2 ax+ a 2 （ 0＜a＜ 2 a ）= (x- 2 2 a) 2 + a 2 2 ≤ 2 2 a 当且仅当 x= 2 2 a 时，等号成立；∴当 x= 2 2 a 时，MN取最小值 2 2 a ．
如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角,则异面直...
答：由题意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形ABCD所在平面与正方形ABEF的二面角即∠CBE=60°，同时也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，即三角形CEF为直角三角形和三角形CBE为等边三角形；即是EF⊥CE．设AB=1，则CE=1，CF=2，FB=2，利用余弦定理，得COS∠CBF＝24．故异面直线AD与BF所成角的余弦值是24．
正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角,则对角线AC...
答：. 试题分析：分别取AB，BC，AD，AF的中点M，N，Q，K，连接FM，MN，KN，QN，KQ，则KM//FB,MN//AC,所以 是异面直线AC，BF所成的角或其补角，设AB=1,则 ,所以 ,所以对角线AＣ与对角线BF对所成角的余弦值是 .点评：找出或做出异成直线所成角是解本小题的关键，一般是在一条...
如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面垂直,P为AE的中点,N是平...
答：1，1)，PA＝(0，?1，?1)∴正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面垂直，P为AE的中点，∴PA⊥平面PBC∴PA是平面PBC的法向量∵PN与平面PBC线面所成角为π4，∴cosπ4=PA?PN|PA||PN|∴22=1?y+1x2+(y?1)2+1×2∴x2=2-2y（y＞0）∴动点N在平面ABCD内的轨迹是一段抛物线，故选D．
高考数学问题:正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面图成60度的二 ...
答：1、四边形ABCD和ABEF都是正方形，BE⊥AB，CB⊥AB,<CBE是二面角DC-AB-EF的平面角，设AB=BC=BE=1，则△CBE为等边△，CE=1，AD‖CB，AD与BF的成角就是BC与BF的成角，AB⊥平面CBE，AB‖EF，EF⊥平面CBE，EF⊥CE，△CEF是RT△，CE=1，EF=1，CF=√2，BF=√2，三角形CBF是等腰三角形，...
如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面构成45°的二面角,则异面...
答：分别取AB，BC，AD，AF的中点M，N，Q，K，连接FM，MN，KN，QN，KQ，则KM∥FB，MN∥AC，所以∠KMN是异面直线AC，BF所成的角或其补角，设AB=1，由题意知∠DAF是正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面构成二面角的平面角，∴∠DAF=45°，∴MN=MK=22，KQ=14+14?2×12×12×22=2?22，∴...
已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直,M为AC上一点...
答：证明：（1）在平面ABC中，作MG ∥ AB，在平面BFE中，作NH ∥ EF，连接GH∵AM=FN∴MC=NB∵ MG AB = MC NC = NB EF ∴ MG ∥ . . NH ∴MNHG为平行四边形；∴MN ∥ GH又∵GH?面BEC，MN ≠ ? 面BEC∴MN ∥ 面BEC（2）∵AB⊥BC，AB⊥...
已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直,
答：1.作MP⊥AB于P,连NP.∵正方形ABCD，∴MP‖BC,∴AM/AC=AP/AB,又正方形ABEF，AM=FN，∴BF=AC,FN/FB=AM/AC=AP/AB,∴NP‖AF,∴NP⊥AB,∴AB⊥平面MNP,∴MN⊥AB.2.由1，MP=x/√2，NP=(a√2-x)/√2，MN^2=MP^2+NP^2=(1/2)(x^2+2a^2-2ax√2+x^2)=x^2-ax√2+a^...
已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在的平面互相垂直,M为AC上一点...
答：作MM1与CB垂直NN1与EB垂直MM1=NN1 MN⊥AB AB⊥EBC ∴MN∥ EBC.作NR⊥BE MS⊥BC 则MNRS是矩形，BR＝a-x/√2 BS＝x/√2 MN²＝SR²＝﹙a-x/√2﹚²+﹙a/√2﹚²＝﹙x-a/√2﹚²+a²/2 ∴当x＝a/√2时，|MN|²有最小值a&...
正方形ABCD所在平面与正方形BEFC所在平面互相垂直,M、N分别为BC、CD...
答：余弦定理！翻书去！
正方形ABCD和正方形ABEF所在的平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q...
答：因为两个正方形有一条公共边，所以两个正方形的变长相等，因此这两个正方形是全等的，所以AE=BD 因为AP=DQ，所以EP=BQ 所以EP/AE=BQ/BD 因为EP/AE=PM/AB,且BQ/BD=NQ/CD 所以PM/AB=NQ/CD 因为AB=CD，所以PM=NQ，因为PM和NQ同时与AB平行，所以PM‖NQ 所以四边形PQNM为平行四边形 所以PQ...
