如何证明三角形的三条中线相交于一点 如何证明三角形的三条中线交于一点
在△ABC中，BD为AC中线，CE为AB中线，BD、CE交于点O，证BC的中线AF过点O；
延长AO交BC于F'，作BG平行EC交AO延长线于G，则因E为AB中点,所以O为AG中点；
连接GC,则在三角形AGC中，OD是中位线，BD平行GC，所以BOCG为平行四边形；
F'平分BC，F'与F重合。BC的中线AF过点O。
扩展资料：
三角形中线的性质：
1、三角形中中线的交点为重心，重心分中线为2：1（顶点到重心：重心到对边中点）。
2、在一个直角三角形中，直角所对应的边上的中线为斜边的一半。
3、任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中线都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外，任何其他通过中点的直线都不把三角形分成面积相等的两个部分。
数学一分钟 证明三角形的三条中线交于一点 孟孟数学老师
证明三角形的三条中线交于一点：
三角形的垂心定理：在三角形ABC中,求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,且BE交CF于点H,连接AH并延长交BC于点D.现在我们只要证明AD⊥BC即可。
因为CF⊥AB,BE所以 四边形BFEC为圆内接四边形.四边形AFHE为圆内接四边形。
以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。
拓展资料
三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点。由定义可知，三角形的中线是一条线段。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
参考资料：百度百科-三角形中线
方法1：
三角形ABC中,AC、AB上的高为BE和CF。
显然三角形ABE相似于三角形ACF，故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)
过A作三角形ABC的高AD，分别交BE，CF，AB于O1，O2，D。
由三角形AFO2相似于三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)
由三角形AEO1相似于三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3)
根据等式(1)(2)(3)有
AO1*AD＝AO2*AD,
所以AO1=AO2,O1、O2重合，记重合点为O点，则O点均在高AD，BE，CF上，所以三角形ABC得三条高交于一点O。
方法2：
三角形ABC中，AC、AB上的高BE和CF交于O点，连接并延长AO交BC于D，只需证AD为高即可。
因为角BEC，角CFB均为直角，所以B、C、F、E四点共圆，记为圆BCFE，
由切割线定理知:AF*AB = AE*AC (4)
分别记直角三角形BOF,COE的外接圆为圆BOF，圆COE，
下面只需证明角BDA＝90度即可，
反证：若角BDA小于90度，则角CDA大于90度，因BO，CO分别为圆BOF，圆COE的直径，所以点D在圆BOF外，在圆COE内，由切割线定理推论
AO*AD>AF*AB （点D在圆BOF外）
AO*AD<AE*AC （点D在圆COE内）
结合(4),得出矛盾，故角BDA不小于90度。
同理可证角BDA也不大于90度。
故角BDA＝90度。即AD为高。
怎么证明三角形的三条中线交于一点~
方法1：
三角形ABC中,AC、AB上的高为BE和CF。
显然三角形ABE相似于三角形ACF，故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC
(1)
过A作三角形ABC的高AD，分别交BE，CF，AB于O1，O2，D。
由三角形AFO2相似于三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD
(2)
由三角形AEO1相似于三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD
(3)
根据等式(1)(2)(3)有
AO1*AD＝AO2*AD,
所以AO1=AO2,O1、O2重合，记重合点为O点，则O点均在高AD，BE，CF上，所以三角形ABC得三条高交于一点O。
方法2：
三角形ABC中，AC、AB上的高BE和CF交于O点，连接并延长AO交BC于D，只需证AD为高即可。
因为角BEC，角CFB均为直角，所以B、C、F、E四点共圆，记为圆BCFE，
由切割线定理知:AF*AB
=
AE*AC
(4)
分别记直角三角形BOF,COE的外接圆为圆BOF，圆COE，
下面只需证明角BDA＝90度即可，
反证：若角BDA小于90度，则角CDA大于90度，因BO，CO分别为圆BOF，圆COE的直径，所以点D在圆BOF外，在圆COE内，由切割线定理推论
AO*AD>AF*AB
（点D在圆BOF外）
AO*AD<AE*AC
（点D在圆COE内）
结合(4),得出矛盾，故角BDA不小于90度。
同理可证角BDA也不大于90度。
故角BDA＝90度。即AD为高。
三角形的中线交于何点?
答：【三角形的三条中线交于一点】设在△ABC中，BD、CE分别是AC和AB边的中线，BD和CE交于O，连接AO并延长交BC于F，求证AF是BC边的中线。证明：作BG//EC，交AF的延长线于G，连接CG。∵BG//EC，∴AE/BE=AO/OG，∵CE是AB边的中线，即AE=BE，∴AO=OG，∵BD是AC边的中线，∴OD是△AGC的中位...
如何证明三角形角三条平分线、高、中线、垂直平分线各自三条都交于一 ...
答：自O点作三边的垂线交三边于D,M,N,则OD=OM=ON,连接OC,则OC平分∠C,所以三角形三条角平分线交于一点。(2)垂直平分线 先作两边的垂直平分线交予一点，连接此点到三个角的顶点，由线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等再过这点向第三边作垂线，根据:到一条线段两端相等的点一定在...
三角形边的中点与顶点连线的交点有何性质?
答：三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）。
用坐标法证明任意三角形的外心(外接圆的圆心)重心(三条中线的交点)垂心...
答：设三角形三个顶点坐标，然后分别求出外心和重心坐标以及两坐标确定的直线，然后证明垂心也在这直线上（垂心到直线距离为0）就行了
三角形有什么规律?
答：10三角形的三条角平分线交于一点,三条高线的所在直线交于一点,三条中线交于一点。 11三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。 12 等底同高的三角形面积相等。 13 底相等的三角形的面积之比等于其高之比,高相等的三角形的面积之比等于其底之比。 14三角形的任意一条中线将这个三角...
人教版初二数学下学期全等三角形知识点总结
答：在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心。三角形的按边分类三角形的三条边,有的各不相等,有的有两条边相等,有的三条边都相等。所以三角形按边的相等关系分类如下:等边三角形是等腰三角形的一种特例。
数学,怎样证明三角形的三条垂直平分线相交于一点。
答：一、探索并证明线段垂直平分线的有关结论. 1.复习线段垂直平分线的作图并探索它的性质. 让学生画出线段AB的垂直平分线MN，在MN上任取一点P，连结PA和PB.问PA，PB的长度有何关系?怎样用语言叙述它?如何证明? 教师纠正后得出线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离...
勾股定理的证明
答：证明的概念为:把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。 其证明如下: 设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF...
规定三角形的三条内角平分线的交点叫三角形的内心.(1)已知I为三角形ABC...
答：证明：连接BI，∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠IBD=∠CBI+∠DBC，BD=ID，∴∠BID=∠IBD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=∠DBC，∴∠ABI=∠CBI=∠BID-∠BAI，∴∠ABI=∠CBI，即I在∠ABC的平分线上，即I是∠BAC何∠ABC的平分线的交点，∴I也在∠ACB的角平分线上，即I是三角形ABC的内心．
初三数学 证明(三)的题,高手进!!!
答：我简单说一下吧,好久没做证明题了.LZ先把该连的线都连一下:)角DCB60度,角DCA30度,所以角DAC也是30度,所以DA=DC=AB.角BAD30度,所以角BAC90度,所以三角形BAC是有一个角为30度的直角三角形,AB等于斜边的一半,所以BE=AB=EC=AD=DC.连一下AE.三角形ABE和三角形ADE面积一样(因为等底等高),...
