证明∫∫∫(s)f(z)dv=∫f(z)(1-z2)dz,其中s是单位球:x2+y2+z2<=1

用截面法（先2后1）做三重积分：取截面Dz：x²+y²≤1-z²，左边=∫∫∫f '(z)dv=∫[-1→1] f '(z)dz∫∫ 1 dxdy。

二重积分的积分区域为：Dz,Dz的面积是：π(1-z²)=π∫[-1→1] f '(z)(1-z²) dz，分部积分=π∫[-1→1] (1-z²) d(f(z))=π(1-z²)f(z)-π∫[-1→1] (-2z)f(z) dz 前一项用上下限[-1→1]代入后结果为0=2π∫[-1→1] zf(z) dz=右边。

扩展资料：

注意事项：

1、知道直径的情况下求半径。半径是直径的一半，所以请使用公式r = D/2。这与根据圆形直径计算其半径的方法相同。

2、知道周长的情况下求半径。请使用公式C/2π。由于周长等于πD，等于2πr，所以用周长除以2π后即可求得半径。

3、使用相同的公式在圆形半径和周长之间进行转换。

4、知道球体体积的情况下计算半径。使用公式((V/π)(3/4))1/3。[3]球体的体积是根据公式V = (4/3)πr3计算得出的。在这个公式中解变量r可得((V/π)(3/4))1/3 = r，这意味着球体的半径等于体积除以π，乘以3/4，再整体求1/3次幂或立方根。

参考资料来源：百度百科-二重积分

∫∫∫|√(x2+y2+z2)-1|dv 曲面是由z=√(x2+y2)和z=1构成.求大师指教.~

把绝对值里面的部分化为一次函数绝对值方程就好做了，所以用球坐标。
∫∫∫(Ω) |√(x² + y² + z²) - 1| dv
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→π/4) sinφdφ ∫(0→secφ) |r - 1| r² dr
= 2π∫(0→π/4) sinφdφ [∫(0→1) (1 - r)r² dr + ∫(1→secφ) (r - 1)r² dr]
= 2π∫(0→π/4) sinφdφ [∫(0→1) (r² - r³) dt + ∫(1→secφ) (r³ - r²) dr]
= 2π∫(0→π/4) sinφdφ [ ( 1/3 * r³ - 1/4 * r⁴ ) |(0→1) + ( 1/4 * r⁴ - 1/3 * r³ ) |(1→secφ) ]
= (1/6)(√2 - 1)π

解答：Ω：0≤r≤cosφ，0≤φ≤π/2，0≤θ≤2π
∫∫∫√x²+y²+z²dy
=∫0→2π dθ∫0→π/2 dφ∫0→cosφ r*r²sinφdr
=2π∫0→π/2 sinφ*cos⁴φ/4dφ
=π/10

扩展资料：
三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标三种坐标计算. 通常要判别被积函数 f(x,y,z) 和积分区域 Ω 所具有的特点。如果被积函数 f(x,y,z) = g(x2 + y2 + z2), 积分区域的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果被积函数 f(x,y,z) = g(z)，则可采用先二后一法计算。
如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和；当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值。

证明∫∫∫(s)f(z)dv=∫f(z)(1-z2)dz,其中s是单位球:x2+y2+z2<=1
答：用截面法（先2后1）做三重积分：取截面Dz：x²+y²≤1-z²，左边=∫∫∫f '(z)dv=∫[-1→1] f '(z)dz∫∫ 1 dxdy。二重积分的积分区域为：Dz,Dz的面积是：π(1-z²)=π∫[-1→1] f '(z)(1-z²) dz，分部积分=π∫[-1→1] (1-z²...

怎么用积分计算曲面积分?
答：标量场f(x, y, z)定义在空间中，则曲面S上的标量场曲面积分计算公式为： ∬S f(x, y, z) dS = ∬D f(r(u, v)) ∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥ du dv， 其中D是参数化域，即参数(u, v)的取值范围。2、曲面上矢量场的曲面积分：设曲面S...

考研高等数学中对求 对坐标的曲面积分的时候,什么时候用“先一后二...
答：“先二后一”就是截面法。适用情况（以最后对z轴积分为例）。积分函数最好是f（z），或 者能变形化成f（z）,2.用垂直于z的面去截积分区间，截面面积规则（通常是圆，椭圆，正方形之类），截面面积可以 写成g（Z），则原积分∫∫∫f（z）dv=∫f（z）g（Z）dz 3.其实说白了还是你熟知积分...

三重积分截面法 公式∫∫∫f(x,y,z)dv=∫c1到c2∫∫f(x,y,z)dxdy 对
答：严格证明太复杂，用微元法简单叙述，体积微元dv=dxdydz所求积分是函数乘以dv的求和，把和表示成A*dz的求和，对每个z（一个截面），A刚好是函数对截面的二重积分，然后对A*dz求和，这是对z的定积分，这就是切片法

高数高斯公式
答：高数高斯公式是∮F·dS=∫(_·F)dV。根据《高等数学》第七版同济大学下册书中第十一章，曲线积分与曲面积分第六节高斯公式，通量与散度中的定义：设空间闭区域Ω \OmegaΩ是由分片光滑的闭曲面∑ \sum∑所围成，若函数P ( x , y , z ) P\left(x, y, z\right)P(x,y,z)，Q ( x ,...

已知f(z)在[-1,1]连续 证∫∫∫f'(z)dv=2π∫zf(z)dz 三重积分区域是中...
答：∫∫∫f '(z)dv= ∫∫∫ r^2sinφf '(rcosφ)drdφdθ=∫ dθ ∫ rdr ∫ -f'(rcosφ)d(rcosφ)=2π∫ r(f(r)-f(-r))dr 对积分∫ rf(-r))dr 作代换r=-t，有：∫(0,1)rf(-r))dr = -∫(-1,0)tf(t))dt = -∫(-1,0)rf(r))dr 故：∫∫∫f '(z)...

计算三重积分∫∫∫dv
答：计算三重积分 ∫∫∫zdv，其中Ω是由曲面x^2+y^2=2z与平面z=2平面所围成的闭区域计，计算过程如下：

...z=0和x=a围成(a>0),证明∫∫∫f(x)f(y)f(z)dV=1/6(∫(0到a)f(x...
答：第一步，确定积分区域V：是空间的一个四面体。第二步，确定积分上下限，化成3次定积分：可以把V投到xoy坐标面，按照先z再y最后x的积分次序，则原式化成 原式=∫（x从0到a）dx∫（y从0到x）dy∫（z从0到y）f（x）f（y）f（z）dz 第三步，设f（u）的原函数是F（u），按照定积分的...

计算三重积分∫∫∫z^2dv,其中是两个球x^2+y^2+z^2<=1和x^2+y^2+z...
答：z = r cosφ dV = r²sinφ drdφdθ Ω方程变为：r = 2acosφ 由于整个球面在xOy面上，所以0 ≤ φ ≤ π/2 ∫_(Ω) (x²+y²+z²) dV = ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/2) sinφ dφ ∫(0,2acosφ) r² * r² dr = (2π)∫(0,π...

三重积分。求过程
答：解：原式=∫<0,2π>dθ∫<0,1>rdr∫<1,-√(1-r^2)>y(1-r^2)dy (作柱面坐标变换)=2π∫<0,1>(1-r^2)(r^2/2)rdr =π∫<0,1>(r^3-r^5)dr =π(1/4-1/6)=π/12。