f(x)在【a,b】上连续,f(a)=f(b)=0,一阶导数乘积大于零,证f(x)在[a,b]内至少有一个零点 设f(x)在[a,b]上有连续二阶导数,且f(a)=f(b)...
则：lim[x→a+] [f(x)-f(a)]/(x-a)>0
由极限的局部保号性，存在a的右邻域(a，a+δ)，使得当x∈(a，a+δ)时，有[f(x)-f(a)]/(x-a)>0
由于x>a，因此f(x)>f(a)，在此邻域内取x1，则f(x1)>f(a)=0
同理可证：存在b的左邻域(b-δ，b)，使得当x∈(b-δ，b)时，有[f(x)-f(b)]/(x-b)>0
由于x<b，因此f(x)<f(b)，在此邻域内取x2，则f(x2)<f(b)=0
因此f(x1)f(x2)<0
因此存在ξ∈(x1，x2)包含在(a，b)中，使f(ξ)=0
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若f(x)在[a,b]上具有n阶导数，且f(a)=f′(b)=f〃(b)=...=fⁿ(b)=0，证明必存在ζ~
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将f(x)在任意x∈(a,b)点处泰勒展开
f(a)=f(x)+f'(x)*(a-x)+f''(ξ)/2*(a-x)^2，其中ξ介于x和a之间
f(x)=f'(x)*(x-a)-f''(ξ)/2*(x-a)^2
∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f'(x)*(x-a)dx-∫(a,b)f''(ξ)/2*(x-a)^2dx
=∫(a,b)(x-a)d[f(x)]-f''(ξ)/6*(x-a)^3|(a,b)
=(x-a)f(x)|(a,b)-∫(a,b)f(x)dx-f''(ξ)/6*(b-a)^3
所以∫(a,b)f(x)dx=-f''(ξ)/12*(b-a)^3
因为|f''(ξ)|<=M
所以|∫(a,b)f(x)dx|<=M/12*(b-a)^3
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b)=0.试证:在(a...
答：令g(x)=f'(x)+f(x),即要证明存在n属于(a,b)使得g(n)=0.1.当f'(a)与f'(b)异号时。g(a)*g(b)=(f'(a)+f(a))*(f'(b)+f(b))=f'(a)*f'(b)<0.故在(a,b)内一定存在n使得g(n)=0.2.当f'(a)与f'(b)同号时。因为f(a)=f(b)=0,所以一定存在c属于（a,b...
设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上的平均值是多少?
答：这用微积分即了 对f(x)积分 是x和f(x)围成的面积 在除以X 就是平均的高了 也就是平均值
证明:设f(x)在【a,b】上连续,若x。∈(a,b)有f(x。)>0,则存在点x。的...
答：对e=f(x0)/2>0，存在x0的一个邻域，在此邻域内有|f(x)-f(x0)|<e，因此有f(x)-f(x0)>-e=-f(x0)/2，即在此邻域内f(x)>f(x0)/2>0
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=b,f(b)=a,其中a与b同号...
答：证：根据拉格朗日中值定理存在∮∈（a,b）使f’(∮)= （f(b)-f(a)）/(b-a)=(a-b)/(b-a)=-1
为什么f(x)在[ a, b]上连续
答：若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且 b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a) 这即为牛顿—莱布尼茨公式。 牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的...
设f(x)在[a,b]上连续且f(x)>0,又F(x)=∫(a,x)f(t)dt+f(x,b)(1/f(t...
答：貌似这题有问题，看了下把“F（x)=∫(a,x)f(t)dt+f(x,b)(1/f(t))dt"中的“+”正号改成"-"利用零值定理可以解出来。还有一个证明是F'(x)≧2不这样改貌似做不出来。
已知f( x)在[ a, b]上连续,求其原函数。
答：则dx=dasint=acostdt a^2-x^2 =a^2-a^2sint^2 =a^2cost^2 ∫√（a^2-x^2）dx =∫acost*acostdt =a^2∫cost^2dt =a^2∫（cos2t+1）/2dt =a^2/4∫(cos2t+1)d2t =a^2/4*(sin2t+2t)将x=asint代入 ∫√（a^2-x^2）dx=x√(a^2-x^2)/2+a^2*arcsin(x/a)...
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,试证:方程f...
答：证明：g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，g(a)=g(b)=0,所以满足罗尔定理。故（a,b)内至少存在一点c,使得g′(c)=0，而g′(x)=[e^xf′(x)-e^xf(x)]/(e^x)^2 =f′(x)-f(x)]/e^x g′(c)=[f′(c)-f(c)]/e^c,g′(c)=0,f′(c)-f(c)=0,f′(c)=...
设f(x)在【a,b】上连续且可导,则导函数必连续是对的吗?不对请举反例...
答：不对，如函数 当x≠0时，f(x)=x²sin1/x 当x=0时，f(x)=0 在x=0处连续且可导，但f'(x)在x=0处不连续。
