线性代数：什么是向量组等价 线性代数中,向量组等价是什么意思?

向量组等价一般指等价向量组。

向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。

需要重点强调的是：等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。

向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是

R（A）=R（B）=R（A，B），

其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是

R（A）=R（B）=R（A，B），

其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

（注意区分粗体字与普通字母所表示的不同意义）

或者说：两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。

注：

1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

扩展资料

设有两个向量组

（Ⅰ）：α1，α2，……，αm；

（Ⅱ）：β1，β2，……，βm；

如果（Ⅰ）中每个向量都可以由向量组（Ⅱ）线性表示，则称（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示；如果（Ⅰ）与（Ⅱ）可以相互线性表示，则称（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，记为（Ⅰ）≌（Ⅱ）。

例如：，若β1=α1+α2，β2=α1-2α2，β3=α1，则向量组（Ⅰ）={α1，α2}与向量组（Ⅱ）={β1，β2，β3}等价。事实上，给定的条件已表明（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，又容易得到α1=(2/3)β1+(1/3)β2+0β3，α2=(1/3)β1-(1/3)β2+0β3，这表明（Ⅰ）也可以由（Ⅱ）线性表示，由定义即知（Ⅰ）与（Ⅱ）等价。

向量组等价一般指等价向量组。

向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。

需要重点强调的是：等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。

向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是

R（A）＝R（B）＝R（A，B），

其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

扩展资料：

三种性质：

向量组间的一种重要关系．如果线性空间V的向量组Ⅰ中的每个向量都可由V的向量组Ⅱ线性表出，并且向量组Ⅱ中的每个向量也可由向量组Ⅰ线性表出，则称向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价．向量组之间的等价满足：

1．反身性：每个向量组都与自身等价．

2．对称性：如果向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价，则向量组Ⅱ也与向量组Ⅰ等价．

3．传递性：如果向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价，向量组Ⅱ与向量组Ⅲ等价，则向量组Ⅰ与向量组Ⅲ也等价．

两个向量组可以相互线性表出，比如A向量组中的向量(α1，……，αn)，B向量组中的向量(β1，……，βn)，A中的任意一个向量αi可由β1，……，βn线性表出，同时B中的任意一个向量βi可由α1，……，αn线性表出，则A和B两个向量组等价

线性代数中两个向量组等价是什么意思~

如何理解线性代数中的等价关系
答：首先，我们要明确等价的涵义：设有两个向量组A和B，如果B中的每个向量都能有向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。如果向量组A与B能相互线性表示，则称这两个向量组等价 其次，明确一个定理：向量组B能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵A的秩等于矩阵（A,B）的秩，即R(A)=R(A...

线性代数中两个向量组等价是什么意思
答：两个向量组可以互相线性表出,即是第一个向量组中的每个向量都能表示成第二个向量组的向量的线性组合，且第二个向量组中的每个向量都能表示成第一二个向量组的向量的线性组合。

线性代数问题
答：1.不唯一。一个向量组的秩是唯一的但是极大无关组是不唯一的。假如一个n阶矩阵的秩为r，那么在这些向量组中任意r个线性无关的向量都可以组成该向量组的极大无关组。比如矩阵a1a2a3 它的最大线性无关组是a1和a2或a1和a3 1 2 3 0 1 3 0 0 0 2.向量组等价指的是两个向量组间有线性关系...

线性代数中矩阵等价和向量组等价的区别与联系
答：这些操作涉及到向量组等价的概念。总结 本文讨论了向量组等价和矩阵等价的概念、定义、性质以及它们之间的区别和联系。通过具体的例子，我们解释了这两个概念的应用。向量组等价和矩阵等价是线性代数中非常重要的概念，它们在机器学习、图像处理等领域中有广泛的应用。

什么叫向量组等价向量组等价的条件是什么
答：1、矩阵等价充要条件：在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=QAP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。  2、向量组等价充要条件：两个向量组可以互相线性表示。

线性代数:证明两个向量组等价,用什么方法
答：基本定义 向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是 R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。（注意区分粗体字与普通字母所表示的不同意义）或者说：两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。以上内容参考：百度百科-等价向量组 ...

向量组等价的判定方法
答：知识补充：向量组是指由若干个向量组成的集合。在线性代数中，我们通常会处理一个向量空间内的向量组，它们可以用来表示该向量空间的各种性质和变换。一个向量组的重要性质是它们的线性相关性或者线性无关性，这决定了它们所张成的子空间的维数和形态。同时，我们也可以对向量组进行运算，如加法、标量乘法...

向量组秩相等就一定等价吗?
答：使得B = Q^-1AP。这意味着通过一系列初等变换，A可以变换为B。这个过程不仅展示了矩阵间的等价性，也揭示了它们内在结构的相似性。总结，向量组和矩阵的等价性与秩的关联并非简单的线性关系，秩相等是等价的必要条件，但非充分条件。通过深入理解这些概念，我们可以更好地解析线性代数中的复杂现象。

线性代数,为什么说“向量组的任意一个最大线性无关组都与向量本身等价...
答：要是证明，就是你先找到一个无关组能线性表出这个向量组，然后这个无关组也跟其他的无关组是等价的，等价具有传递性，命题得证。向量组等价，意思是可以通过初等行变化加上列变换变成一模一样的矩阵，而且这样变是不改变两个矩阵的秩。一个初等行变换（列变换）就是用一个初等矩阵去左乘（右乘）...

如何区分线性代数中两个向量组的等价性?
答：通过基本判定精细判断：向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。需要重点强调的是：等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是 R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。设有...