一个数列如果有界，则必有极限。

用反证法！

假设该数列的极限为A，即：lim(n→+∞) (-1)^n = A

于是：

对于∀ε>0，∃N∈N+，当n>N时，

|(-1)^n - A|<ε成立

又∵

|(-1)^n| - |A| ≤ |(-1)^n - A| <ε

|(-1)^n| < |A|+ε
当n为偶数时：

1<|A|+ε

当n为奇数时：

-1<|A|+ε

上述两式的成立与N无关，即：不关N取怎么样的值，都不能在n>N时，上述两式必然成立！
因此，与假设矛盾，假设错误！

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单调有界数列必有极限,是指数列必须同时有上下届吗,如果只是一侧有界可 ...
答：是，是指同时有上下界。单调 序列 的话应该就已经说明有一个界了，a1就是它的一个界，比如{an},an=n,a1就是它的下界了。如果数列单调递增，有上界，就证明它在n趋于正无穷时必有极限。（同时它有a1作为下界）如果数列单调递减，有下界，就证明它在n趋于正无穷时必有极限。（同时它有a1作为上界）...

有极限的数列一定是收敛数列吗 有界不一定有极限吗
答：有极限又称为收敛,所以有极限的数列就是收敛数列 有界不一定有极限,但有极限一定有界.

数列要有极限,则一定有界为什么
答：那么有对所有的e>0,存在自然数N，当n>N,时 |an-a|<e 就是说 n>N时 a-e<an<a+e,是有界的 对于n<=N时，那N个数（有限多个），必然有一个最大的ai，和一个最小aj的 取M=max{a+e,ai} m=min{a-e,aj} 那么M，m分别是an的上界和下界 所以an有界。这就说明了数列有极限必有界...

单调有界数列必有极限 为什么极限不等于它的界?
答：证明：假设A>M A-M<|Xn-A| 由于ε是任意给定，所以我们给定ε<A-M，但是|Xn-A|<ε对于任意ε成立，故而矛盾。因此M>=A。单减同理 最后A<M时，因为任意给定ε，都能使|Xn-A|<ε成立，这是显然的，这样就保证极限成立了。但是我们无法证明A=M，因为M>A时极限也存在，所以极限不一定就是...

数列有极限的充要条件
答：知识拓展：若数列的极限存在，则极限值是唯一的此隐，且它的任何子列的极限与原数列的相等。如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。设数列{xn}与{yn}均收敛。若存在正数N，使得当n>N时有xn≥yn。数列{xn}与它的任一平凡子列同为收敛或发散...

数列有界是极限存在的什么条件?
答：必要条件。要是无界，肯定不存在一个有限稳定极限。但是有界也未必极限存在，有可能不断震荡。有界数列指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。假设存在定值a，任意n有{An（n为下角标，下同）=B，称数列{An}有下界B，如果同时存在A、B使得数列{An}的值在区间[A,B]内，数列...

有界数列就是有极限的数列吗
答：不是，有界数列只是对每项的大小有约束，但是并不一定是收敛到一个值 例如(-1)^n这个数列是有界的，但是并没有极限

单调递增有下界,和单调递减有上界数列存在极限吗
答：an=-n这个数列，这个数列就是单调递减的数列，-1就是这个数列的上界。这个数列没有极限。单调有界定理为：单调有界数列必有极限。具体地说：1、若数列（xn）递增且有上界，则 2、若数列（xn）递减且有下界，则 需要注意的是：单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性，如何求极限需用其他方法。

数列有极限吗?如何定义的呢?
答：极限的性质：1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等；2、有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列1，-1，1，-1，……，(-1)n+1 ，……3、保号性：若 （或<0），则对...

高数书上有定理,单调有界数列必有极限,可以推广到单调有界函数必有极...
答：不可以。函数的极限情形比数列要复杂的多。数列只是在变量n→∞时单调有界则必有极限，而函数的变量变化则分多种情况：x→∞(+∞或-∞)；x→a(a是常数，+a或-a)。左右极限存在但不相等，则函数极限不存在。并且要考虑函数是否存在间断点 ...