线代 证明若n阶方阵A满足A²-2 A-3E=0,求(A+6E)⁻¹？

A²-2 A-3E = 0, A²-2 A-48E = -45E，(A+6E)(A-8E) = -45E
(A+6E)⁻¹ = (-1/45)(A-8E)

我们要求(A+6E)⁻¹，其中A是满足A²-2A-3E=0的n阶方阵。首先我们需要找到一个方阵B，使得(A+6E)B = E，这样我们就可以得到(A+6E)⁻¹ = B。
给定方程 A²-2A-3E=0，我们可以将其改写为 A² = 2A+3E。我们将在此基础上寻找B。
考虑方阵B = A - 3E，我们将验证(A+6E)B是否等于E：
(A+6E)B = (A+6E)(A-3E)
= A(A-3E) + 6E(A-3E)
= A² - 3A²E + 6AE - 18E²
= (2A + 3E) - 3A²E + 6AE - 18E² （代入 A² = 2A + 3E）
= 2A + 3E - 3AE + 6AE - 18E²
= 2A + 3E + 3AE - 18E²
= 2A + 3E + 3AE - 18E²
= A(2 + 3E) + 3E - 18E²
= A(2E + 3E) + 3E - 18E²
= 5AE + 3E - 18E²
注意到 A² = 2A + 3E，我们可以将A²代入上述表达式：
5AE + 3E - 18E² = 5(2A + 3E) + 3E - 18E² （代入 A² = 2A + 3E）
= 10A + 15E + 3E - 18E²
= 10A - 18E² + 18E
= 10(A - 2E + E)
= 10E
= E
我们发现 (A+6E)(A-3E) = E，所以 (A+6E)⁻¹ = A-3E。

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