一次同学聚会,每两个同学相互都要握一次手,全班共有60名学生,问一共需要握几次手? 有30个同学聚会，见面时如果每人都和其余的人握一次手，那么参...
排列组合公式2008-11-04 11:27
排列定义 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。
组合定义 从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。
组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合
有记号C(n,r),C(n,r)。
例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数
集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！
集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！
这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则
S（A）=S（B）*3！
S（B）=9！/3！
这就是我们用以前的方法求出的P（9，6）
例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？
设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的集合，规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集，则每个子集都是某6个数的全排列，即每个子集有6！个元素。这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系，则
S（B）=S（C）*6！
S（C）=9！/3！/6！
这就是我们用以前的方法求出的C（9，6）
以上都是简单的例子，似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公式的来源，也是对公式更深刻的认识。大家可能没有意识到，在我们平时数物品的数 量时，说1，2，3，4，5，一共有5个，这时我们就是在把物品的集合与集合（1，2，3，4，5）建立一一对应的关系，正是因为物品数量与集合（1， 2，3，4，5）的元素个数相等，所以我们才说物品共有5个。我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰，从而能用它解决更复杂的问题。
例3：9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？
9个人排成一排，不同排法有9！种，对应集合为前面的集合A
9个人坐成一圈的不同之处在于，没有起点和终点之分。设集合D为坐成一圈的坐法的集合。以任何人为起点，把圈展开成直线，在集合A中都对应不同元素，但在集合D中相当于同一种坐法，所以集合D中每个元素对应集合A中9个元素，所以S（D）=9！/9
我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人，再排其他人，结果为8！。这个方法实际上是找到了一种集合A与集合D之间的对应关系。用集合的思路解决问题的关键就是寻找集合之间的对应关系，使一个集合的子集与另一个集合的元素形成一一对应的关系。
例4：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数，但要求1排在2前面，求符合要求的九位数的个数。
集合A为9个数的全排列，把集合A分为两个集合B、C，集合B中1排在2前面，集合C中1排在2后面。则S（B）+S（C）=S（A）
在集合B、C之间建立以下对应关系：集合B中任一元素1和2位置对调形成的数字，对应集合C中相同数字。则这个对应关系为一一对应。因此S（B）=S（C）=9！/2
以同样的思路可解出下题：
从1、2、3…，9这九个数中选出3个不同的数作为函数y=ax*x+bx+c的系数，且要求a>b>c，问这样的函数共有多少个？
例5：M个球装入N个盒子的不同装法，盒子按顺序排列。
这题我们已经讨论过了，我再用更形象的方法说说。
假设我们把M个球用细线连成一排，再用N-1把刀去砍断细线，就可以把M个球按顺序分为N组。则M个球装入N个盒子的每一种装法都对应一种砍线的方法。而 砍线的方法等于M个球与N-1把刀的排列方式（如两把刀排在一起，就表示相应的盒子里球数为0）。所以方法总数为C（M+N-1，N-1）
例6：7人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻, 则共有________排法.
解：甲、乙、丙三人把其他四人分为四部分，设四部分人数分别为X1，X2，X3，X4，其中X1，X4》=0，X2，X3》0
先把其余4人看作一样，则不同排法为方程
X1+X2+X3+X4=4的解的个数，令X2=Y2+1，X3=Y3+1
化为求X1+Y2+Y3+X4=2的非负整数解的个数，这与把2个球装入4个盒子的方法一一对应，个数为C（5，3）=10
由于其余四人是不同的人，所以以上每种排法都对应4个人的全排列4！，所以不同排法共有C（5，3）*4！=240种。
解：
60个人 从60个里面取2个人 就可以握手一次
次数=60×(60-1)÷2=1770次
答：共需要握手1770次
这是个典型的握手问题。设有X个人，不重不漏，这是个组合问题
X(X-1)/2=握手次数
所以答案就是1770
第一个人要握59次，第二个人要握58次，依此类推，一直到1次
所以：59+58+57+...+3+2+1=1770（次）
第一个人需要和其他59人握手共59次；
第二个人需要和其他58人握手共58次；
...
第59人需要和其他1人握手共1次。
所以s=59+58+……+2+1=（59+1）*59/2=1770
在一次同学聚会中，每两个同学见面时都要握一次手，经统计共握手28次，求参加这次聚会的同学有多少人？~
这道题高中是用排列组合做的。如果要用一元二次方程，那么就要理解几个问题。
第一，假如设有x人，那么每个人，要握x-1次手。列式子，总握手次数就是x（x-1）；
第二，甲和乙握手，跟乙和甲握手是同一个握手。所以，算重复了，要除以2；
第二条要仔细理解，不要想的太复杂。
搞清楚以上，就知道了。
设共有x个同学
x（x-1）÷2=28
x²-x-56=0
(x-8)*(x+7)=0
x=8或x=-7 (舍去)
答案是8人。
第一个人要握手29次 第二个人握手28次 第三个人握手23次以此类推最后一个人握手0次（29+28+27+ ---+0）=29乘以15=435 望采纳 谢谢
8个同学聚会,每两人都要握一次手,一共要握多少次手
答：8*(8-1)/2=28 到会的8个人都不会和自己握手的,所以每个人会和8-1个人握手 一共有8个人,所以8*（8-1）你和某个人握手,他也会和你握手,所以算了两次,要除以2,就是8*(8-1)/2 结果为28
某次同学聚会,每两个聚会的人都相互握一次手,经统计,一共握了55次手...
答：设参加聚会的有x人，由题意得：j我×x×（x-j）=66，解得：xj=j我，x我=-jj（不合题意舍去），故答案为：j我．
...场同学聚会,到场的老同学有30人,如果每两个人都要握一次手,种共握手...
答：设握X次手 每个人除去自己外、都跟每个人握一次手 所以每个人握（31-1）次 有30人 就是 31（31-1）但是这样每个人就会重复一次 所以除以2就是 31（31-1）/2 算出来等于465.
小美参加同学聚会,按规定每两个人见面要握手一次,现有16名同学,一共...
答：每个同学都要和其他15名同学握手 16×15＝250 但是A和B握了,B也要和A握,所以按上面的算法每2个同学之间会握两次,所以要除以2 250÷2＝125 所以一共要握手125次
一次同学聚会,每两人相互握手一次,一共握28次,问这聚会有多少人? 写...
答：设有x人 那么，x(1+x)/2=28 所以x=7
8位同学聚会,见面后每两人爻间要握手相互问侯,共需握多少次手
答：每个人跟剩下的7个人握一次是7次，8个人就是8×7=56次，但两两握手会重复一次，所以要除2。即56÷2=28次。共握手28次。
在一次同学聚会上,同学之间每两人都握了一次手,聚会所有人共握手45次...
答：设这次参加聚会的同学有x人，则每人应握（x-1）次手，由题意得：12x（x-1）=45即：x2-x-90=0，解得：x1=10，x2=-9（不符合题意舍去）故参加这次聚会的同学共有10人．故选：B．
2.校庆某班同学聚会,每个人都要相互握手,已知这次到会的同学共握手300...
答：因为每个人都要相互握手 而你和我握手后，就等于我和你握手了 因此，重复计算了 所以要除以2 祝你开心
某次同学聚会,每两个人都握了一次手,所有人共握10次,则参加的人数...
答：对于每一个人而言,会和除他之外的每一个人握手,而两个人只需要握一次手,在算的时候算成了2次,每一个人的都是这样 所以：x（x-1）÷2=10 x=5 祝您在新的一年一帆风顺,二龙腾飞,三羊开泰,四季平安,五福临门,六六大顺,七星高照,八方来财,九九同心,十全十美.
假期同学聚会,见面后彼此都要握一次手,4个同学共握手几次,5个同学共握...
答：4个同学握手次数：3+2+1=6次 5个同学握手次数：4+3+2+1=10次 ...同理：n个同学握手次数为：(n-1)+(n-2)+...+2+1=n[(n-1)+1]/2=n^2/2 (二分之n的平方)希望对你有所帮助！
