证明:f(x)的极限存在的充分必要条件是它在x。处的左右极限都存在并且相等 证明 f(x)当x→xo时的极限存在的充要条件是它的 左右极...

|x-x0|<δ 推出 0<x-x0<δ是右极限 推出 0<x0-x<δ是左极限，证明0<x-x0<δ1 0<x0-x<δ2 当δ3=min{δ1，δ2}时2式同时成立。

以下是极限的相关介绍：

极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中遇到大量的问题，开始人们只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破’只研究常量‘的传统范围，而寻找能够提供能描述和研究运动、变化过程的新工具，是促进’极限‘思维发展、建立微积分的社会背景。

极限思想的完善，与微积分的严格化的密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试“彻底满意”地解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们习惯于用不变化的常量去思维，分析问题。

以上资料参考百度百科——极限

☆必要性
①已知（x→x0）limf(x)=a，则
任给ε>0
总存在δ>0
当0<|x-x0|<δ时，即x0-δ<x<x0+δ, and x≠x0时，
就有|f(x)-a|<ε.
②于是x0-δ<x<x0, 有|f(x)-a|<ε,得（x→x0-）limf(x)=a
③于是x0 <x<x0+δ, 有|f(x)-a|<ε,得（x→x0+）limf(x)=a
∴（x→x0-）limf(x) =（x→x0+）limf(x)
☆充分性
不妨设（x→x0-）limf(x)=（x→x0+）limf(x)= a
①已知（x→x0-）limf(x)= a
任给ε1>0
总存在δ1>0
当x0-δ1<x<x0时, 有|f(x)-a|<ε1
②已知（x→x0+）limf(x)= a
任给ε2>0
总存在δ2>0
当x0 <x<x0+δ2时, 有|f(x)-a|<ε2
③取δ=min{δ1,δ2},ε=max{ε1,ε2}
于是0<|x-x0|<δ时，
就有|f(x)-a|<ε
∴（x→x0）limf(x)=a

☆必要性
①已知（x→x0）limf(x)=a，则
任给ε>0
总存在δ>0
当0<|x-x0|<δ时，即x0-δ<x<x0+δ,
and
x≠x0时，
就有|f(x)-a|<ε.
②于是x0-δ<x<x0,
有|f(x)-a|<ε,得（x→x0-）limf(x)=a
③于是x0
<x<x0+δ,
有|f(x)-a|<ε,得（x→x0+）limf(x)=a
∴（x→x0-）limf(x)
=（x→x0+）limf(x)
☆充分性
不妨设（x→x0-）limf(x)=（x→x0+）limf(x)=
a
①已知（x→x0-）limf(x)=
a
任给ε1>0
总存在δ1>0
当x0-δ1<x<x0时,
有|f(x)-a|<ε1
②已知（x→x0+）limf(x)=
a
任给ε2>0
总存在δ2>0
当x0
<x<x0+δ2时,
有|f(x)-a|<ε2
③取δ=min{δ1,δ2},ε=max{ε1,ε2}
于是0<|x-x0|<δ时，
就有|f(x)-a|<ε
∴（x→x0）limf(x)=a

用定义证
=》用|x-x0|<δ 推出 0<x-x0<δ是右极限 推出 0<x0-x<δ是左极限
《=的证明就是由0<x-x0<δ1 0<x0-x<δ2 当δ3=min{δ1，δ2}时2式同时成立
有|x-x0|<δ3即极限

证明:lim f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左右极限均存在且等于a~

充分性:
设lim(x→x0-)f(x)=a,根据极限的定义
对任意E>0,存在δ>0,当x0-δ<x<x0时,
|f(x)-a|<E
同理,当x0<x<x0+δ时,
|f(x)-a|<E
于是对任意x∈(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ),|f(x)-a|<E都成立.
即当0<|x-x0|<δ时|f(x)-a|<E,∴lim(x→x0)f(x)=a

必要性:
设lim(x→x0)f(x)=a,则对任意E>0,存在δ>0,当0<|x-x0|<δ时
|f(x)-a|<E
而当x0-δ<x<x0时,必有0<|x-x0|<δ
故|f(x)-a|<E仍成立.∴lim(x→x0-)f(x)=a
同理可证lim(x→x0+)f(x)=a
∴左右极限等

x趋于x0时f(x)极限存在等价于，对于任意给出的一个正数ε，总存在一个正数δ，使得当x满足
|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε会成立
左极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足
|x-x0|<δ时,f(x)-A<ε
右极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足
|x-x0|<δ时,A-f(x)<ε
所以左右极限都存在时，总存在一个正数δ，使得当x满足
|x-x0|<δ时
-ε<f(x)-A<ε
即|f(x)-A|<ε
所以
函数f(x)当x->x0时极限存在的充要条件是左极限,右极限均存在并相等

函数极限证明题
答：把{a[n]}中小于x0的项提取出来，若有无限项，则构成一子列，记为{c[n]}，则有lim c[n] = x0，因为f(x)左极限存在，所以数列{f(c[n])}极限存且为定值。若上述只有一个为无限项，则f(a[n])的极限即为该子列的极限。若两个都有无限项，则由“左极限和右极限相等”得lim f(b[n]...

高数y=f(x)在点a处有极限是y=f(x)在点a处连续的必要条件 不是可导必连...
答：函数在某一点有极限不一定连续,连续不一定可导；可导一定连续，连续一定有极限且极限值等于函数值。设g(a)=0 lim[x→a][f(x)-f(a)]/(x-a)=lim[x→a][f(x)g(x)-f(a)g(a)]/(x-a)=lim[x→a]f(x)g(x)/(x-a)=lim[x→a]f(x)*lim[x→a]g(x)/(x-a)=f(a)lim[x...

函数f(x)在(a,b)上恒为常数的充要条件
答：f(x)在(a,b)上连续，可导，导数为0。充分必要条件也即充要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p ，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果有事物情况B，则必然有事物情况A，那么B就是A的充分必要条件 ( ...

高等数学函数极限的性质
答：存在准则 有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。1.夹逼定理：（1）当(这是的去心邻域，有个符号打不出）时，有成立 （2）,那么，f(x)极限存在，且等于A 不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。2.单调有界准则：单调...

什么是函数极限与数列极限的互为充要条件?
答：1、数列的收敛可以推导出来极限存在,而极限存在也可以推导出数列是收敛的,两者互为充要条件。 2、极限存在就是极限是某一个确定的值而非无穷大。 3、数列的收敛就是极限为某一个值。 函数极限与数列极限的关系 关于函数极限与数列极限的关系有一个定理,当X趋近于X0时,f(x)的极限是A的充分必要条件是:对任何...

如何判断极限是否存在?什么样的极限不存在?
答：判断极限是否存在的方法是：分别考虑左右极限。极限存在的充分必要条件是左右极限都存在且相等。用数学表达式表示为：极限不存在的条件：1、当左极限与右极限其中之一不存在或者两个都不存在；2、左极限与右极限都存在，但是不相等。

证明 函数f(x)在可测集E上可测的充分必要条件是下列条件之一成立:
答：X必须以测定该函数的最佳值进行讨论。可用均值不等式A +b≥2√ab（A> 0，b> 0），证明最大的价值。 x和的1 / x分别为式内和b，应用公式来证明这一点。讨论：由于x≠0，所以当x> 0时，它可以允许X + 1 /x≥2①，此时具有最小2;当x 0时，根据已知的意思是不等式（-x）+（ - 1...

f(x)在x=0可导吗?
答：即知：f(x)在x=0处可导。相关信息：根据可导与连续的关系定理：函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处连续，但逆命题不成立。“函数f(x)在点x0处有连续”是“函数f(x)在x0处极限存在”的“充分条件”。因为“函数f(x)在点x0处有连续”,则f(x)在点x0处的左极限=f(x)在点x0处...

fx在x0的某邻域有定义,在x0的某去心邻域可导,
答：洛必达法则是对的，但是不等于limf'x，而是f'x0。f(x)在x=x0的某去心领域内可导，说明在x=x0就不连续；选项又给出条件f'(x0)=A，就说明f(x)在x=x0也连续了，但并不能说明导函数f'(x)在x=x0也连续，这样就不能说导函数f'(x)在x=x0的极限一定存在且等于函数值A。充分必要条件...

若f(x)在x0处有极值,且f'(x0)存在,则必有f'(x0)=0。为什么是必要条件...
答：（x0）=0。所以这是充分条件；2.但是当f ’(x0)=0，导函数不一定两端有一正一负的情况（如下图），所以这种情况下，原函数f（x）的单调性是没有改变的。所以不存在有极值情况。所以这是不必要条件。综上所述，当f'(x0)存在 ，f(x)在x0处有极值，是 f'(x0)=0 的充分不必要条件。