三阶正交矩阵的行列式与其特征值有何关系？

三阶正交矩阵的行列式与其特征值之间存在一定的关系。首先，我们需要了解正交矩阵和行列式的定义。

正交矩阵是指其转置矩阵等于其逆矩阵的矩阵。对于一个3x3的正交矩阵A，我们有A^T=A^-1。正交矩阵的一个重要性质是其列向量两两正交且模为1。

行列式是一个方阵的一个数值属性，它表示了该方阵在变换过程中保持体积的能力。对于一个3x3的矩阵A，其行列式记为det(A)。

现在我们来探讨三阶正交矩阵的行列式与其特征值之间的关系。对于一个3x3的正交矩阵A，我们可以将其表示为：

A=QR

其中Q是一个正交矩阵，R是一个上三角矩阵。由于A是正交矩阵，所以Q^T=Q^-1，即Q的转置等于其逆矩阵。因此，我们有：

A^T=RQ^T=RQ^-1=QR^-1

这意味着A的逆矩阵可以表示为A^-1=QR^-1。接下来，我们计算A的特征值。对于一个3x3的矩阵A，其特征值满足以下方程：

|A-λI|=0

其中λ是特征值，I是单位矩阵。将A表示为A=QR，我们可以得到：

|QR-λI|=|R(Q-λI)|=0

这表明R(Q-λI)是一个零矩阵。由于R是一个上三角矩阵，所以R(Q-λI)的非零元素都位于主对角线上。因此，我们有：

R(Q-λI)=R[Q-λI]=0

这意味着Q-λI是一个零矩阵。由于Q是一个正交矩阵，所以Q的列向量两两正交且模为1。因此，我们有：

Q-λI=Q+(-λ)I=0

这意味着Q的每个列向量都是λI的解。由于Q是一个正交矩阵，所以它的列向量构成了一个正交基。因此，我们可以得出结论：对于任意的λ，都有至少一个Q的列向量是λI的解。这意味着λ是A的一个特征值。

综上所述，三阶正交矩阵的行列式与其特征值之间的关系是：对于一个3x3的正交矩阵A，其行列式等于其所有特征值之积。这是因为行列式表示了方阵在变换过程中保持体积的能力，而特征值表示了方阵在变换过程中保持线性映射的能力。对于一个正交矩阵，其所有特征值都是实数，且它们的乘积等于其行列式。

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n阶正交矩阵是什么矩阵?
答：属于正规矩阵 n阶正交矩阵的定义应该是满足A^T*A=A*A^T=E_n的矩阵A（此时A只能是nxn的矩阵）,并且一般来讲最好在实数域上讨论.严格地将A^T*A=E是很不完整的,撇开域的问题不谈,这一关系式当中没有关于维度的信息,最多只能利用秩得到A的列数不超过A的行数.在给定维度的情况下从A^T*A=...

正交矩阵的性质
答：正交矩阵保持向量的长度和角度：如果向量v与正交矩阵A相乘，那么向量的长度保持不变，角度也保持不变。即 ||Av|| = ||v||（其中||v||表示向量v的长度）且 v·w = (Av)·(Aw)，其中·表示点积操作。行列式为±1：正交矩阵的行列式的绝对值等于1，即|det(A)| = 1。这可以通过直接计算...

正交矩阵数值线性代数
答：正交矩阵在数值线性代数中扮演着关键角色，其特性在计算中展现出显著的优势。例如，当我们需要寻找或改变空间的正交基时，正交矩阵的形式提供了便利。这种矩阵的特点是行列式为±1，所有特征值的模均为1，这对于数值稳定性极有益，因为它们保证了在乘法过程中误差不会被放大。正交矩阵的条件数为1，这是最...

线性代数题,求详细解析
答：这个问题本质上是立方体的空间对称群 首先，对于任何一个3阶正交阵，把它所有元素变号得到的行列式也变号，这个映射是一个双射，所以我们只需要考虑行列式为1的正交阵 然后按特征值进行分类，有三种情况 (a) 特征值是1，1，1，即单位阵 (b) 特征值是1，-1，-1 (c) 实特征值是1，虚特征值是...

正定且正交矩阵有哪些重要的数学性质?
答：3. 行列式和迹的关系：对于一个n阶正定且正交矩阵A，其行列式|A|和迹tr(A)满足tr(A)^2 = |A|。这个性质可以通过特征值的性质推导得到，并且对于正定矩阵来说，迹是所有特征值之和。4. 特征值的性质：正定且正交矩阵的特征值都是实数，并且大于0。这是因为正定矩阵的特征值是其对角线元素，而...

已知A为n阶正交矩阵,且IAI<0,则IAI=?.
答：|A| = -1.实际上正交阵的行列式只能为±1.设A'为A的转置, 有|A'| = |A|.由A为正交阵, A'A = E.|A|² = |A'|·|A| = |A'A| = |E| = 1.故|A| = ±1.由条件|A| < 0, 即得|A| = -1.

a的行列式=-1,则-1是a的特征值 a的行列式=-1,则-1是a的特征值 怎么证明...
答：由于|E+A^T| = |[(E^T)+A]^T| = |E+A|...<3> 将<3>代入<2>：|A+E| = -|A+E| 所以|A+E|=0，即|A-(-1)E|=0，那么-1是A的特征值。（2）解法跟（1）是一样的，（1）会了的话，（2）也应该会了。由于A是正交阵， (A^T)*A=A*(A^T)=E 其中上标T表示转置...

如何证明正交矩阵的特征值为1或-1
答：设λ是正交矩阵A的特征值，x是A的属于特征值λ的特征向量 即有 Ax = λx，且 x≠0。两边取转置，得 x^TA^T = λx^T 所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx 因为A是正交矩阵，所以 A^TA=E 所以 x^Tx = λ^2x^Tx 由 x≠0 知 x^Tx 是一个非零的数 故 λ^2=1 所以 λ=1或-1 正交...

求证:若A为正交矩阵,则A的行列式的值为
答：简单计算一下即可，答案如图所示

正交矩阵的定义是什么意思?
答：如果AAT＝E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA＝E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。注意事项：在矩阵理论中，实正交矩阵是方阵Q，它的转置矩阵是它的逆。如果正交矩阵的行列式为＋1，则称为特殊的正交矩阵。1、方阵A的正交条件是A的...