设a,b,x,y为正数，证明：xln（x/b) +yln(y/b) >(x+y)ln[(x+y)/(a+b)] .(用凸函数的性质证明，要详细的过程 已知f（x）=ln（x+1），g(x)＝12ax2+bx，（...
改过之后也应该是大于等于号，x=a、y=b时可以取等号，两边为0。
证明：设f(x,y)=左边 - 右边
任意给定y=y0>0，有：
x的一阶导f'(x,y0)=1+ln(x/a) - 1 - ln[(x+y0)/(a+b)] = ln(x/a) - ln[(x+y0)/(a+b)]，
x的二阶导f"(x,y0)=1/x - 1/(x+y0) >0，可知f(x,y0)是关于x的下凸函数，因此只要有极值点一定是最小值点。
令一阶导等于0，可求得x=(ay0)/b时，f(x,y0)取极小值0，也就是最小值。因此左边大于右边右边
同理，给定x=x0>0，类似的也可以证明y=(bx0)/a时，f(x0,y)取极小值0，也就是最小值。因此左边还是大于等于右边。并且两个等号可以同时成立。（若不能同时成立，就可以得出左边严格大于右边的结论）
综上，对于任意给定的正实数x,y,都有f(x,y)大于等于0
即题干中的左边大于等于右边，当且仅当x/y=a/b时等号成立。
证毕：）
设f(x)=xln(x/b)
则f'(x)=ln(x/b)+1
f''(x)=1/x>0
故f(x)为下凸函数，根据凸函数的性质
[xln(x/b)+yln(y/b)]/2>=(x+y)/2*ln[(x+y)/2b]
即xln(x/b)+yln(y/b)>=(x+y)ln[(x+y)/2b]
没给a与b的关系只能证到这里
ln(x)+xln(b)=a怎么求解~
原极限=lim ln( ln(ax)/ln(x/a) )/[1/ln(xlna)] (这部化为无穷比无穷型,然后用洛必达法则) =lim { [ ln(x/a)/ln(ax) ][ ( (1/x)ln(x/a)-(1/x)ln(ax) )/(ln(x/a)2) ] }/{ (-1/x)/[ ln(xlna) ]2 } =lim { ln(x/a)ln(1/a2)/[ln(ax)(ln(x/a))2] }/{ (-1)/[ ln(xlna) ]2 } =lim -ln(1/a2) [ ln(x/a)/ln(ax) ] { [ ln(xlna) / ln(x/a)]2 } =-ln(1/a2)·1·1 =-ln(1/a2)
（Ⅰ）b=2时h(x)＝lnx?12ax2?2x，h′(x)＝1x?ax?2，∵h（x）有单调递减区间，∴h′（x）＜0有解，即1?ax2?2xx＜0有解，∵x＞0，∴ax2+2x-1＞0有解，．（2分）①a≥0时合题意②a＜0时，△=4+4a＞0，即a＞-1，∴a的取值范围是（-1，+∞）．（4分）（Ⅱ）设?（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x?′(x)＝1x+1?1＝?xx+1． x （-1，0） 0 （0，+∞） ?′（x） + 0 - ?（x） ↗ 最大值 ↘∵当x=0时，?（x）有最大值0∴?（x）≤0恒成立．即f（x）-g（x）≤0对于x∈（-1，+∞）恒成立．（8分）（III）xlnx+ylny?(x+y)lnx+y2＝x(lnx?lnx+y2)+y(lny?lnx+y2)=xln2xx+y+yln2yx+y＝?xlnx+y2x?ylnx+y2y=?xln(1+y?x2x)?yln(1+x?y2y)．（10分）当0＜x＜y时，y?x2x＞?1，x?y2y＞?1，由（2）知xlnx+ylny?(x+y)lnx+y2≥?x?y?x2x?y?x?y2y＝0．（12分）等号在y?x2x＝x?y2y＝0，即x=y时成立．而y＞x＞0，所以xlnx+ylny?(x+y)lnx+y2＞0成立．（14分）
已知正数a,b,c,x,y,z满足a+x=b+y=c+z=k,求证ay+bz+cx<k^2
答：由条件可知a+x=k,①b+y=k,②c+z=k,③将三个式子两边分别平方,并相加得3k^2=(a^2+x^2)+(b^2+y^2)+(c^2+z^2)+2(ax+by+cz),利用不等式a^2+b^2≥2ab,3k^2≥2ax+2by+2cz+2(ax+by+cz)=4(ax+by+cz),所以k^2≥4(ax+by+cz)/3>...
设正整数a,b,c,x,y,z 满足a+x=b+y=k。证明:ay+bz+cx小于k2 要求有详细...
答：此题用构造法是最简单证明的。作边长为k的正三角形ABC，在各边上分别点D、E、F使AD=a，BE=b，CF=c。则BD=x，CE=y，AF=z。由S△ADF+S△BED+S△CFE+S△DEF=S△ABC，所以S△ADF+S△BED+S△CFE<S△ABC。即1/2azsin60°+1/2bxsin60°+1/2cysin60°<1/2k²sin60° 所以a...
已知a、b为正数,点(Xn,Yn),由以下方法确定
答：联立 Y=(-b/a)X+b和Y=(b/a)X 得 X1=a/2，Y1=b/2 过点（0，b）和（Xn-1，0）的直线:Y=-(b/Xn-1) X+b 与Y=(b/a)X的交点为 Xn=a * Xn-1/ (Xn-1+a)， Yn = b* Xn-1/ (Xn-1+a)，1/Xn=1/a+1/Xn-1 1/Xn=1/a*(n-1)+2/a Xn=a/(n+1)Yn=b/...
证明不等式(x^b+y^b)^1/b<(x^a+y^a)^1/a (x,y,a,b,是正实数,且b>a)
答：这个嗯。。。左右两边齐次，所以不妨先设x+y=1，考虑函数f(t)=(x^t+y^t)^(1/t)的单调性吧，具体直接求导，f(t)^t=x^t+y^t，两边对t求导 ln(f(t))*f(t)^t*f'(t)=lnx*x^t+lny*y^t，然后嗯。。。因为x,y都是正实数，所以0<x<1,0<y<1,lnx<0,lny<0 ln(f(t))=...
若ax。+by。是形如ax+by(x,y是任意整数,a,b是两个不全为零的整数)的...
答：ax+by=1。||ax|-|by||=1。假设。|ax|>|by|，则|ax|=|by|+1。说明|ax|和|by|是相邻的两个正整数。又因为a、b是任意的正整数，当a、b为偶数时，|ax|和|by|都是偶数，不可能为相邻的两个正整数（一奇一偶）。用数字证明，a=b=2时，2x+2y=1，没有整数解。相关简介 和整数一样...
当a、b、c均为正数时, 证明(a+b+c)*(1/a+1/b+1/c)≥ 9?
答：(a＋b＋c）*（1/a＋1/b＋1/c）=(1+a/b+a/c) + (1+b/a+b/c) + (1+c/a + c/b)=3 + (a/b + b/a) + (a/c + c/a) + (b/c + c/b) （1）式 再证明 (x/y + y/x)>=2 (x, y均为正数)因为(x-y)^2 = x*x + y*y - 2xy >=0 所以 x*x +...
已知a、b、m、n、x、y均为正数,且a≠b,若a、m、b、x成等差数列,a、n...
答：a、b、m、n、x、y均为正数，且a≠b，且 a、m、b、x成等差数列，∴m=a+b2．又 a、n、b、y成等比数列，∴n=ab，由基本不等式可得 m＞n．又 同理可得 b=m+x2=ny≥mx，∴y＞x．综上，m＞n，x＜y，故选B．
已知x+a=y+b=z+c=1且a,b,c,x,y,z均为正数
答：证法一:(a+x)(b+y)(c+z)=(ab+ay+bx+xy)(c+z)=abc+acy+bcx+cxy+abz+ayz+bxz+xyz =abc+(bxz+abz)+(bcx+cxy)+(acy+ayz)+xyz =abc+(a+x)bz+(b+y)cx+(c+z)ay+xyz =abc+bz+cx+ay+xyz =1 abc>0 abc>0 bz+cx+ay<1 证法二 ...
设a b是两个非零整数 且有整数x,y使得ax+by=1 证明若a整除n且b整除n则...
答：综述：通过证明可以得到若a整除n且b整除n则ab整除n。可以设n/a=p,n/b=q，其中p，q都是整数。因为n/（ab）=1*n/（ab）=（ax+by）*n/（ab）=（axn+byn）/（ab=xn/b+yn/a=xq+yp等于整数，所以ab整除n。若a整除bn则a整除n，可以设bn/a=k，其中k是整数。因为n/a=1*n/a=（ax...
已知X Y Z为正实数,且不全相等,求证X^2/Y+Y^2/Z+Z^2/X>X+Y+Z_百度知...
答：1/z>=1/y>=1/x 左边是乱序和 右边是反序和 乱序和>=反序和 当且仅当x=y=z时等号成立 又X Y Z为正实数，且不全相等 故X^2/Y+Y^2/Z+Z^2/X>X+Y+Z 排序不等式是高中数学竞赛大纲、新课标 要求的基本不等式。设有两组数 a_1 , a_2 ,…… a_n; b_1 , b_2 ,…… ...
