双曲线的全部性质 双曲线的光学性质
双曲线的性质：
1、轨迹上一点的取值范围：│x│≥a（焦点在x轴上）
2、对称性：关于坐标轴和原点对称
3、顶点：A(-a,0)， A'(a,0)
4、渐近线：y=±(b/a)x
5、离心率：e=c/a 且e∈(1，+∞)
6、准线：x=±a^2/c
扩展资料：
在平面直角坐标系中，二元二次方程F（x，y）=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
1、a、b、c不都是零。
2、Δ=b2-4ac>0。
在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化，根据建好的前后位置判断图像关于x，y轴对称。
标准方程为：
1、焦点在X轴上时为： （a>0，b>0）
2、焦点在Y轴上时为： （a>0，b>0）
双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。
渐近线的方程求法是：将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解，例如：将1替换为0，得，则双曲线的渐近线为 。
一般地我们把直线叫做双曲线（焦点在X轴上）的渐近线。
焦点在y轴上的双曲线的渐近线为 。
参考资料来源：百度百科——双曲线
1、取值范围
│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）。
2、对称性
关于坐标轴和原点对称，其中关于原点成中心对称。
3、顶点
A（-a，0），A'（a，0）。同时AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a。；B（0，-b），B'（0，b）。同时BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b。；F1（-c，0）或（0，-c），F2（c，0）或（0，c）。F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c
4、对实轴、虚轴、焦点有：a2+b2=c2
5、渐近线
焦点在x轴： ；焦点在y轴：
扩展资料
双曲线离心率的求法
一、利用标准方程求解
求双曲线的离心率的本质就是探求a，c之间的关系，知道a，b，c中任意两者的等式关系便可以求出e。
二、紧扣定义求解
双曲线的基本定义往往可以成为解题的突破口。
1、平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点。
2、平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（（e>1），即为双曲线的离心率）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。双曲线准线的方程为（焦点在x轴上）或（焦点在y轴上）。
3、一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
4、在平面直角坐标系中，二元二次方程F（x，y）=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
三、通过渐近线求解
注意双曲线的焦点位置的确定与渐近线的关系，就能避免出现不必要的失分，利用双曲线离心率e的整体转化运算在基于熟悉双曲线基本概念的前提下应引起高度重视。
四、利用向量知识求解
平面向量的载体就是平面图形，通过向量与图形的结合寻找平行、垂直关系，或利用向量夹角公式求得相关结论。
参考资料来源：百度百科-双曲线
以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质。
分支
可以从图像中看出，双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时，为左轴与右轴；当焦点在y轴上时，为上轴与下轴。
焦点
在定义1中提到的两个定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。焦点的横（纵）坐标满足c²=a²+b²。
准线
在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线。
离心率
在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。
离心率
双曲线有两个焦点，两条准线。(注意:尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线,但是给定同侧的一个焦点,一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支,而两侧的焦点,准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。)
顶点
双曲线和它的对称轴有两个交点,它们叫做双曲线的顶点。
实轴
两顶点之间的距离称为双曲线的实轴,实轴长的一半称为实半轴。
虚轴
在标准方程中令x=0,得y²=-b²，该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B1(0,b)和B2(0,-b),以B1B2为虚轴.
渐近线
双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。
渐近线的方程求法是：将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解，例如：
,将1替换为0,得,则双曲线的渐近线为
一般地我们把直线
叫做双曲线(焦点在X轴上)的渐近线(asymptote to the hyperbola )
焦点在y轴上的双曲线的渐近线为
顶点连线斜率
双曲线 y
上一点与两顶点连线的斜率之积为。
实际应用
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双曲线在实际中的应用有通风塔，冷却塔，埃菲尔铁塔，广州塔等。
面积公式
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若 ∠F1PF2=θ，
则 S△F1PF2=b2×cot
或S△F1PF2=
·例：已知F1、F2为双曲线C：x2－y2=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多
少？
解：由双曲线焦点三角形面积公式得:
S△F1PF2=b2×cot(
)=
1、取值区域：
x≥a,x≤-a或者y≥a,y≤-a
2、对称性：
关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：
A(-a,0) A’(a,0) AA’叫做双曲线的实轴，长2a；B(0,-b) B’(0,b) BB’叫做双曲线的虚轴，长2b。
4、渐近线：
横轴：y=±(b/a)x 竖轴：y=±(a/b)x
5、离心率：
e=c/a 取值范围：（1，+∞）
6、双曲线上的一点到定点的距离和到定直线(相应准线)的距离的比等于双曲线的离心率。
7、双曲线焦半径公式：
圆锥曲线上任意一点到焦点距离。过右焦点的半径r=|ex-a|；过左焦点的半径r=|ex+a|
8、等轴双曲线
双曲线的实轴与虚轴长相等，2a=2b e=√2
9、共轭双曲线
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 与 (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 叫共轭双曲线
（1）共渐近线
（2）e1+e2>=2√2
10、准线：
x=±a^2/c,或者y=±a^2/c
11、通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）：
2b^2/a
12、焦点弦长公式：
2pe/(1-e^2cos^2θ) [p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角] 或2p/sin^2θ
13、d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下：
由直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k
分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ]
稍加整理即得： |AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²)
扩展资料：
一、光学性质：
从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用。
二、相关定义：
定义1：
平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点。
定义2：
平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（（e>1），即为双曲线的离心率）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。双曲线准线的方程为（焦点在x轴上）或（焦点在y轴上）。
定义3：
一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
定义4：
在平面直角坐标系中，二元二次方程F（x，y）=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
参考资料：
百度百科－双曲线
双曲线的性质主要包括以下几个方面：
范围：双曲线的两支向外延伸，焦点在坐标轴上，坐标轴上除外。
对称性：双曲线关于坐标轴对称，并且关于原点中心对称。
顶点：双曲线与坐标轴的交点称为顶点，坐标轴上除外。
离心率：双曲线的离心率是指焦距与长轴长度的比值，通常用e表示，e的取值范围是(1,++)。
等轴双曲线：当双曲线的实轴与虚轴相等时，双曲线称为等轴双曲线。
双曲线的实轴和虚轴：双曲线的实轴是坐标轴上与双曲线交点的集合，虚轴是坐标轴上与双曲线对称中心的集合。
双曲线的渐近线：双曲线上的点无限接近的两条直线称为渐近线，它们的方向由离心率e决定。
双曲线的通径：双曲线的通径是指过双曲线的焦点，并且与对称轴平行的弦的长度。
双曲线的焦点：双曲线的焦点是指坐标轴上与双曲线交点的集合。
以上是双曲线的主要性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和研究双曲线。
双曲线的所有性质~
双曲线的几何性质有哪些
从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用。
双曲线有哪些性质?
答：双曲线是解析几何中的一种曲线，其数学方程通常表示为：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)其中，\(a\) 和 \(b\) 是正实数。双曲线具有以下性质：1. 定义域和值域：双曲线的定义域是实数集，而值域是 \(y > b\) 和 \(y < -b\) 的区间。2. 对称轴：双曲线的...
光滑的曲线有什么性质
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双曲线几何性质
答：双曲线的几何性质体现在其轨迹、对称性、顶点、焦点和渐近线等方面。轨迹上的点满足条件│x│≥a（若焦点在x轴）或│y│≥a（若焦点在y轴）。双曲线具有对称性，关于坐标轴和原点均对称，顶点分别为A(-a,0)和A'(a,0)，实轴AA'长度为2a，虚轴BB'长度为2b，焦点F1(-c,0)和F2(c,0)之间的...
双曲线的性质
答：双曲线的性质：1、取值区域：x≥a，x≤-a或者y≥a，y≤-a；2、对称性：关于坐标轴和原点对称。3、顶点：A(-a,0)A’(a,0)AA’叫做双曲线的实轴，长2a；B(0,-b)B’(0,b)BB’叫做双曲线的虚轴，长2b等。
双曲线的性质有哪些?
答：等轴双曲线的主要性质有：1、半实轴长=半虚轴长，一般而言是a=b；2、等轴双曲线是渐近线互相垂直，半实轴长与半虚轴长相等；3、等轴双曲线离心率e=√2；4、等轴双曲线渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；5、等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；6、等轴双...
圆锥曲线有哪些性质?
答：2、当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。3、当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。4、当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。5、当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二...
圆锥曲线有哪些性质?
答：得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时,则可得到双曲线）。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
双曲线的图像及性质
答：1、图像：双曲线有两个分支，这两个分支关于原点对称，且分布在x轴和y轴的两侧。双曲线的焦点位于x轴上，且双曲线到两焦点的距离之差为常数。2、性质：双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c。双曲线有两条过中心的渐近线。双曲线的离心率e>1，e越大，双曲线开口越阔。双曲线的每个...
等产量曲线的性质有哪些
答：(1) 等产量线的含义等产量线是表示两种生产要素的不同数量的组合可以带来相等产量的一条曲线,或者说是表示某一固定数量的产品,可以用所需要的两种生产要素的不同数量的组合生产出来的一条曲线。(2 ) 等产量线的特征第一,等产量线是一条向右下方倾斜的线,其斜率为负值.这就表明,在生产者的资源与...
椭圆,双曲线和抛物线分别有哪些性质?
答：3 双曲线的标准方程 6.4 双曲线的基本性质及有关概念6.5 等轴双曲线6.6 共轭双曲线6.7 点和双曲线的相关位置6.8 双曲线的切线与法线6.9 点关于双曲线的切点弦与极线七 抛物线7.1 抛物线的定义7.2 用平面截直圆锥面可以得到抛物线7.3 抛物线的标准方程7.4 抛物线的基本性质及有关概念7....
