几何模型：条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点。 问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小。 方法 阅读理解题：【几何模型】条件：如图1，A、B是直线l同旁的两...
∴此时BP＝DP，
∴BP＋EP＝DP＋EP，
当点E、D、P不共线时，有DP＋EP＞ED，
当点E、D、P共线时，有DP＋EP＝ED，
∴DP＋EP≥ED，
∴连结ED，与AC的交点就是所要求的点P，
ED＝√(AD^2＋AE^2)＝√(4＋1)＝√5，
即BP＋EP的最小值为√5；
⑵设点A关于直线OB的对称点为D，则DO⊥OB，DP＝AP，
∴PA＋PC＝PD＋PC，
由∠AOC＝60°知∠DOC＝120°，
当点C、D、P不共线时，PD＋PC＞CD，
当点C、D、P共线时，PD＋PC＝CD，
∴PD＋PC≥CD，
过O作CD的垂线，垂足为E，则Rt△OEC与Rt△OED全等，
且∠DOE＝∠COE＝60°，
又OC＝OD＝2，
∴OE＝1，
∴CE＝DE＝√3，
CD＝2√3，
即PA＋PC的最小值为2√3；
⑶设点P关于直线OA、OB的对称点分别为P1、P2，
则PQ＝QP1，PR＝RP2，
∴△PQR的周长PQ＋PR＋QR＝QP1＋RP2＋QR，
连结P1P2，
当P1、P2、Q、R不共线时，QP1＋RP2＋QR＞P1P2，
当P1、P2、Q、R共线时，QP1＋RP2＋QR＝P1P2，
∴QP1＋RP2＋QR≥P1P2，
连结OP1、OP2，则OP1＝OP2＝OP＝10，
∴∠P1OA＝∠AOP，∠P2OB＝∠BOP，
∴∠P1OP2＝∠P1OA＋∠AOP＋∠P2OB＋∠BOP
＝2(∠AOP＋∠BOP)＝90°，
∴△P1OP2为等腰直角三角形，
∴P1P2＝10√2，
∴△PQR的周长PQ＋PR＋QR最小值为10√2。
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC垂直平分BD，
∴PB=PD，
由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，
在△ADE中，根据勾股定理得，DE= 22+12 = 5 ；
（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，
PA+PC的最小值即为A′C的长，
∵∠AOC=60°
∴∠A′OC=120°
作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°
∵OA′=OA=2
∴A′D= 3
∴A′C=2 3 ；
（3）作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线OB的对称点N，
任意取OA上一点Q，OB上一点R，
由对称点的性质：QM=QP，RN=RP，
所以三角形PQR的周长=PQ+QR+RP=MQ+QR+RN，
由两点间直线最短，所以只有当Q，R在线段MN上时，
上面的式子取最小值，也就是说只要连接MN，它分别与OA，OB的交点E，F即为所求，
这时三角形PEF的周长=MN，只要求MN的长就行了，
OM=ON=OP=10，∠MOA=∠AOP，∠POB=∠BON，
所以∠MON=∠MOA+∠AOP+∠POB+∠BON=2（∠AOP+∠POB）=2∠AOB=90°，
所以△MON是等腰直角三角形，直角边等于10，易求得斜边MN=10 2 ，
也就是说△PQR的周长的最小值=MN=10根号2
图2
A(0,1), C(sqrt(3)/2,1/2)
P (x,0)
PA + PB = sqrt(x^2 + 1) + sqrt((x-sqrt(3)/2)^2 + 1/4)
when x = sqrt(3)/3 PA+PB = sqrt(3) which is smallest
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几何模型：条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：~
解：（1）由所给的例子可知，PB+PE的最小值是DE的长，∵正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，∴AE=1，在Rt△ADE中，DE=AD2+AE2=22+12=5，则PB+PE的最小值是：5；（2）如图2所示：作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=3∴A′C=23；故PA+PC的最小值为23；（3）如图3，连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．根据垂径定理，得到BE=12AB=4，CF=<td style="border-bottom:1px sol
解：解：如图所示：延长AC到点A′，使CA′=AC；连接BA′交CD于点P，点P就是所选择的位置．在直角三角形BA′N中，BN=3+1=4，A′N=3，∴A′B=BN2+A′N2=32+42=5（千米），∴最短路线AP+BP=A′B=5（km），最省的铺设管道的费用为W=5×15000=75000（元）答：最省的铺设管道的费用是75000元．
蝴蝶模型基本公式是什么?
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