连续随机变量X，Y 相互独立 试用期望值的定义来证明 证明X和Y相互独立

使用E(XY) = E(X)E(Y)是对的.
因为X, Y相互独立, 所以exp(tX)与exp(tY)也相互独立.
因此成立E(exp(tX)exp(tY)) = E(exp(tX))E(exp(tY)), 即所求证.

如果要用期望的定义证明, 过程和证明E(XY) = E(X)E(Y)是一样的.
将E(exp(tX)exp(tY))表示为重积分.
由独立性, 重积分可化为累次积分并进一步化为两个积分的乘积.
结果就是E(exp(tX)exp(tY)) = E(exp(tX))E(exp(tY)).

好复杂- *-

假设连续型随机变量xy相互独立,证明y均值独立于x~

我们需要证明对任何 u, v,
P(X+Y <u, Z<v) = P(X+Y<u)P(Z<v).因为X,Y,Z独立, 其联合密度函数为单个密度函数f_X(x),f_Y(y), f_Z(z) 的积 f_X(x)f_Y(y)f_Z(z).从而

P(X+Y <u, Z<v)
=∫_(x+y <u, z<v)f_X(x)f_Y(y)f_Z(z)dxdydz
=∫_(x+y <u)f_X(x)f_Y(y)dxdy ∫_(z<v)f_Z(z) dz
= P(X+Y<u) P(Z<v).

注意积分∫_(x+y <u)f_X(x)f_Y(y)dxdy 与z无关.

即X+Y与Z独立.

这是离散随机变量。X和Y是独立的。
用定义证明。P（x=0，Y=-1）=P（x=0）P（Y=-1），以此类推即可。
事实上，只要联合分布律每一行或者每一列成比例，可以直接看出X和Y是独立的。