函数f(a) f(b)是什么意思? 柯西中值定理中F（a）F（b）是什么意思，和拉格朗日中的 a...

f(a)是指自变量为a时的函数值，即当x=a时的函数值,同理f(b)是x=b时的函数值，目测楼主应该是说的单调性的定义证明，单调递减的定义为：当a>b时，有f(a)<f(b)成立，即自变量大的函数值小，函数图像所体现出来的趋势是下降的。

你的问题描述的不清楚啊。我试着凭我的猜测回答。
单调减少，就是证明当a<b时，f(a)>f(b),或者f(a)-f(b)>0.

f（a)×f(b)＜0是啥意思？~

通常在函数零点判断时出现。表示函数在区间(a，b)内有零点。

没有区别的，只是柯西中值定理说的是两个函数，f（x）和F（x），F（a）和F（b）指的就是两个端点值而已。当你把F（x）取成F（x）=x时，柯西中值定理就变成了拉格朗日定理了，所以才有拉格朗日定理是柯西中值定理的特殊情况这一说法。