矩阵的秩和向量组的秩是否相等？为什么

矩阵行向量组的秩 = 矩阵列向量组的秩 = 矩阵的秩，任何情况下都相等。

三个秩其实是从不同方面描述矩阵的秩，对于同一个矩阵，三秩在任意情况下均相等。行秩与列秩比较常用。在计算中，行秩与列秩可用于计算矩阵的秩（高斯消元法）。在证明中，行秩与列秩实质上将矩阵的秩转化为向量组的秩，故可有向量的性质推证矩阵性质。

重要定理

每一个线性空间都有一个基。

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

解线性方程组的克拉默法则。

以上内容参考：百度百科-线性代数

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矩阵的秩和其列向量组的秩的证明
答：行秩=列秩=矩阵的秩

矩阵的秩是否等于其行秩或列秩
答：因为由条件，有可逆矩阵P，使得B＝PA，从而显然，线性方程组Ax＝0与线性方程组Bx=0是同解的。从而A的列向量组与B的列向量组 线性关系一致，线性相关性当然相同，而且不止如此，还有A的列向量组与B的列向量组的秩相等，极大线性无关组相互对应。

矩阵等价与向量组等价的区别是什么?
答：如果是列变换，相当于两矩阵的行向量组是等价的。由于矩阵的行秩，与列秩相等，就是矩阵的秩，在行列数都相等的情况下，两矩阵等价实际上就是秩相等，反过来，在这种行列数都相等情况下，秩相等，就说明两矩阵等价。这与向量组等价略有区别：向量组等价，则两向量组的秩（极大线性无关组中向量个数...

向量组的秩如何求?
答：此外，还可以使用一种叫做“高斯消元法”的算法来计算一个矩阵的秩。这种方法是通过一系列的行变换将矩阵变为阶梯形矩阵，然后计算阶梯形矩阵的行数即可。向量组的秩的应用 1、线性方程组：当一个线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，这个方程组有唯一解。如果这两个秩不相等，那么这个方程...

矩阵与向量组有哪些等价性?
答：两个向量组可以互相线性表出，即是第一个向量组中的每个向量都能表示成第二个向量组的向量的线性组合，且第二个向量组中的每个向量都能表示成第一二个向量组的向量的线性组合。向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。需要重点强调的是：等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定...

如何计算矩阵的秩?
答：2.求矩阵的秩：对矩阵实施初等行变换化为梯矩阵、非零行数即矩阵的秩。3.二次型的秩即二次型的矩阵的秩：秩是线性代数术语。在线性代数中，一个矩阵的秩是其非零子式的最高阶数，一个向量组的秩则是其最大无关组所含的向量个数。线性代数是数学的一个分支。它的研究对象是向量，向量空间...

向量组秩相等就一定等价吗?
答：向量组的独特性 然而，向量组的等价性与秩的关系稍有不同。向量组的秩，即极大线性无关组的向量数，如果相等，仅表示它们有相同的自由度，但并不保证它们可以相互线性表示。换句话说，秩相等的向量组不一定等价，这是向量组特有的性质。判定与实例 要判断向量组A（a1, a2, ..., am）和B（b1, ...

什么叫向量组的秩?
答：设有n个向量a1,a2...,an（都是m维），如果他们线性无关，那么n个向量组成的向量组的秩就是n。在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立，反之称为线性相关。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是 A的线性无关的纵列的极大数目...

向量组秩等于向量的秩吗?
答：不一定。如A为m*n矩阵列向量组的秩=行向量组的秩=n（因为列线性无关）但m不一定等于n。定义 数学中，既有大小又有方向且遵循平行四边形法则的量叫做向量（vector）。向量有方向与大小，分为自由向量与固定向量。数学中，把只有大小但没有方向的量叫做数量，物理中称为标量。例如距离、质量、密度、...

等价的矩阵一定秩相等吗?
答：设有n维向量组Ⅰ和n维向量组Ⅱ。如果Ⅰ中任一向量都可由Ⅱ中向量线性表示，反之Ⅱ中任一向量都可由Ⅰ中向量线性表示，那么则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩。向量组A与向量组B的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是...