柯西中值定理 求 罗尔定理，柯西中值定理的证明，要证明谢谢

柯西中值定理的证明：

因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。

另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。

扩展资料：

范例解析

用罗尔中值定理证明：方程

3

在 (0,1) 内有实根。

证明： 设

则 F(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，

，所以由罗尔中值定理，至少存在一点

，使得

，所以

，所以ξ是方程

在 (0,1) 内的一个实根。

结论得证。

柯西中值定理，是著名的数学定理，证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。简单地理解,就是初中以及高中了解到的斜率与倒数的关系,函数在某点的斜率等于该函数在该点的倒数。
具体
柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。
简介
如果函数f(x)及F(x)满足：
(1)在闭区间【a，b】上连续；
(2)在开区间(a，b)内可导；
(3)对任一x∈(a，b)，F'(x)≠0，
那么在(a，b)内至少有一点ζ，使等式
【f(b)-f(a)】/【F(b)-F(a)】=f'(ζ)/F'(ζ)成立。

整理，得到
(e^x2/x2-e^x1/x1)/(1/x2-1/x1)=(1-m)e^m
于是构造F(x)=e^x/x, G(x)=1/x
于是F'(m)/G'(m)=(1-m)e^m，得证。

就是把g（x）换成x，发现此时柯西中值定理和拉格朗日中值定理形式是一摸一样的
其实柯西中值定理就是拉格朗日定理的一般化
拉格朗日定理是柯西中值定理的一个特殊情况

什么是柯西中值定理。~

柯西中值定理，是著名的数学定理，证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。函数单调性，若函数在某区间上单调增（或减），则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正（或负），也就是函数的导数在此区间上均取正值（或负值）。因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性。

罗尔定理证明：
令f(x)=e^x-ex, 在【1，x】上用拉格朗日中值定理。
则f(x)-f(0)=f'(u)(x-1), 10 (x>1)。
所以 e^x>ex。
柯西中值定理的证明：
因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。
另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。

扩展资料：
柯西中值定理的一个最重要的应用就是可以推导计算待定型的极限最有效的方法——洛必达法则。
洛必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限。在满足一定条件下可以化成两个函数的导数的比值极限，这样就有可能使得原待定型变成简便而有效的求非待定型极限的问题。
我们得出下面这个定理（洛必达法则）：
⑴两个函数

和

在开区间

可微，并且在这个开区间上，

的导数不等于0；
⑵存在极限

（或

），其中A为一个有限的常数。则在以下情况下：

（或者

和

）。那么就有：

（或

）。在区间的另一个端点也存在相类似的结果。这个定理就称之为洛必达法则，能有效地应用于待定型的极限计算。
参考资料来源：百度百科--罗尔定理
参考资料来源：百度百科--柯西中值定理

狄拉克函数的问题,这东西怎么就是积分中值定理了?
答：delta函数的筛选性质：delta(x-x0)是指除x=x0外delta(x-x0)=0.

微分中值定理证明题一道
答：是证“则”后面的东西，不要求充要性，我在写解答，一会儿给答案 只证明了(c,b)区间上的情况,(a,c)上可类似给出

问道中值定理的题目
答：x=0有意义吗？注意要证明的东西x在分母处，怎么可能取到0呢？

高等数学上下册的主要公式
答：·正弦定理： ·余弦定理：·反三角函数性质：高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：中值定理与导数应用：曲率：定积分的近似计算：定积分应用相关公式：空间解析几何和向量代数：多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用：方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法：重积分及其应用：柱面坐标和球面...

拉格朗日和积分中值定理证明牛顿―莱布尼兹公式吗?
答：发个老二，我几分钟这指定你证明牛顿莱布尼斯公式，这是确定的，因为在物理学当中，或者公司来证明

导数导数导数导数
答：导数是微积分中的重要基础概念。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。由速度变化问题和曲线的切线问题而抽象出来的数学概念。又称变化率。导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。导数另一个定义：当x=x0时，f‘(x0)是一个确定的数。这样，当x...

数学体系
答：** 微分学:导数,微分,中值定理,极值等。 ** 积分学:积分,原函数,积分法,广义积分,含参变量积分等。 ** 多元微积分学:偏导数,全微分,方向导数,雅可比矩阵,雅可比行列式,向量,向量分析,场论等。 * 复变函数论:复变函数(解析函数,柯西积分定理,解析函数项级数,幂级数,泰勒级数,洛朗级数,留数,调和函数,最大...

数二考研范围!
答：高等数学80%、线性代数20%。硕士研究生招生考试数学二试卷满分为150分；考试时间为180分钟；答题方式为闭卷、笔试。试卷内容结构为高等数学80%；线性代数20%。试卷题型结构为：单选题10小题，每题5分，共50分；填空题6小题，每题5分，共30分；解答题（包括证明题）6小题，共70分。

牛顿 莱布尼茨微分公式定义是
答：（ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。）当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x），故有 可见这也是导数的定义，所以最后得出 。2、，F(x)是f(x)的原函数。证明：我们已证得 ，故 但Φ(a)=0（积分区间...

考研考应用数学 复习需要看高等数学么
答：2.一元函数微分学 重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算(包括隐函数求导)、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。3.一元函数积分学 重点考查不定积分的计算、定积分的计算、...