什么是牛顿迭代法？ C语言编程中，牛顿迭代法是什么？
牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。
编辑本段牛顿迭代公式
设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。 解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。 牛顿迭代法示意图
军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A交替出现。但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B（即执行B = A操作），然后A 再前进占领新的位置，B再跟上……直到占领所有的阵地，前进结束。像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称之为迭代法。 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。 利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。 二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。 三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。 最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 定理：gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) 证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 。假设d是a,b的一个公约数，则有 a%d==0, b%d==0，而r = a - kb，因此r%d==0 ，因此d是(b, a mod b)的公约数 同理，假设d 是(b, a mod b)的公约数，则 b%d==0 , r%d==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公约数 。 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。 欧几里德算法就是根据这个原理来做的，欧几里德算法又叫辗转相除法，它是一个反复迭代执行，直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。其算法用C语言描述为： int Gcd_2(int a, int b)// 欧几里德算法求a, b的最大公约数 { if (a<=0 || b<=0) //预防错误 return 0; int temp; while (b > 0) //b总是表示较小的那个数，若不是则交换a，b的值 { temp = a % b; //迭代关系式 a = b%a; //是那个胆小鬼，始终跟在b的后面 b = temp%b; //向前冲锋占领新的位置 } return a; } 从上面的程序我们可以看到a，b是迭代变量，迭代关系是temp = a % b; 根据迭代关系我们可以由旧值推出新值，然后循环执a = b; b = temp;直到迭代过程结束（余数为0）。在这里a好比那个胆小鬼，总是从b手中接过位置，而b则是那个努力向前冲的先锋。 还有一个很典型的例子是斐波那契(Fibonacci)数列。斐波那契数列为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、…，即 fib(1)=0; fib(2)=1; fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>2时)。 在n>2时，fib(n)总可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由旧值递推出新值，这是一个典型的迭代关系，所以我们可以考虑迭代算法。 int Fib(int n) //斐波那契(Fibonacci)数列 { if (n < 1)//预防错误 return 0; if (n == 1 || n == 2)//特殊值，无需迭代 return 1; int f1 = 1, f2 = 1, fn;//迭代变量 int i; for(i=3; i<=n; ++i)//用i的值来限制迭代的次数 { fn = f1 + f2; //迭代关系式 f1 = f2; //f1和f2迭代前进，其中f2在f1的前面 f2 = fn; } return fn; }
编辑本段C语言代码
double func(double x) //函数 { return x*x*x*x-3*x*x*x+1.5*x*x-4.0; } double func1(double x) //导函数 { return 4*x*x*x-9*x*x+3*x; } int Newton(double *x,double precision,int maxcyc) //迭代次数 { double x1,x0; int k; x0=*x; for(k=0;k<maxcyc;k++) { if(func1(x0)==0.0)//若通过初值，函数返回值为0 { printf("迭代过程中导数为0!\n"); return 0; } x1=x0-func(x0)/func1(x0);//进行牛顿迭代计算 if(fabs(x1-x0)<precision || fabs(func(x1))<precision) //达到结束条件 { *x=x1; //返回结果 return 1; } else //未达到结束条件 x0=x1; //准备下一次迭代 } printf("迭代次数超过预期!\n"); //迭代次数达到，仍没有达到精度 return 0; } int main() { double x,precision; int maxcyc; printf("输入初始迭代值x0:"); scanf("%lf",&x); printf("输入最大迭代次数:"); scanf("%d",&maxcyc); printf("迭代要求的精度:"); scanf("%lf",&precision); if(Newton(&x,precision,maxcyc)==1) //若函数返回值为1 printf("该值附近的根为:%lf\n",x); else //若函数返回值为0 printf("迭代失败!\n"); getch(); return 0; }
编辑本段C++代码
//此函数是用来求3元一次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的解 //比如 x^3-27=0,我们就可以输入1 0 0 -27，这样我们就可以得到一个解 #include<iostream> #include<cmath> using namespace std; int main() { double diedai(double a,double b,double c,double d,double x); double a,b,c,d; double x=10000.0; cout<<"请依次输入方程四个系数："; cin>>a>>b>>c>>d; x=diedai(a,b,c,d,x); cout<<x<<endl; return 0; } double diedai(double a,double b,double c,double d,double x) { while(abs(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)>0.000001) { x=x-(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)/(3*a*x*x+2*b*x+c); } return x; }
编辑本段matlab代码
1.定义函数
function y=f(x) y=f(x)；%函数f(x)的表达式 function y=z(x) y=z(x)；%函数z(x)的表达式
2.主程序
x=X；%迭代初值 i=0；%迭代次数计算 while i<= I；%迭代次数 y=x-y(x)/z(x)；%牛顿迭代格式 if abs(y-x)>ε；%收敛判断 x=y； else break end i=i+1； end fprintf('\n%s%.4f\t%s%d'，'x='，x，'i='，i) %输出结果
编辑本段Python代码
Python代码以实例展示求解f(x) = (x-3)**3，f(x) = 0 的根。
[1]def f(x): return (x-3)**3 ’''定义f(x) = (x-3)**3''' def fd(x): return 3*((x-3)**2) ’''定义f'(x) = 3*((x-3)**2) def newtonMethod(n,assum): time = n x = assum Next = 0 A = f(x) B = fd(x) print('A = ' + str(A) + ',B = ' + str(B) + ',time = ' + str(time)) if f(x) == 0.0: return time,x else: Next = x - A/B print('Next x = '+ str(Next)) if A == f(Next): print('Meet f(x) = 0 , x = ' + str(Next)) ’''设置迭代跳出条件，同时输出满足f(x) = 0的x值''' else: return newtonMethod(n+1,Next) newtonMethod(0,4.0) ’''设置从0开始计数，x0 = 4.0'''
牛顿迭代法是什么原理呢~
牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。
设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。
牛顿迭代法是一种常用的计算方法，这个大学大三应该学过。
具体为：设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
你把这段文字认真仔细慢慢读一遍，把给的方程式写出来，然后照这个在纸上画出图形，就会明白牛顿迭代法的概要了。
你讲的xopint?root?float?这些都是自己定义的函数。float是c语言中定义浮点型变量的写法。
#include
#include
void main()
{
float f(float);
float xpoint(float,float);
float root(float,float);
float x,x1,x2,f1,f2;
do
{
printf("输入x1,x2
");
scanf("%f%f",&x1,&x2);
f1=f(x1);
f2=f(x2);
}while(f1*f2>0);
x=root(x1,x2);
printf("方程在1.5附近的根为：%f
",x);
}
float f(float x)//定义一个f函数，返回值y
{
float y;
y=2*x*x*x-4*x*x+3*x-6;
return(y);
}
float xpoint(float x1,float x2)//定义一个带返回值的函数即y，也就是求y的函数，main（）中调用
{
float y;
y=(x1*f(x2)-x2*f(x1))/(f(x2)-f(x1));
return(y);
}
float root(float x1,float x2)//这也是定义一个函数，是求根的函数，利用了上面自己定义的函数
{
float x,y,y1;
y1=f(x1);
do
{
x=xpoint(x1,x2);
y=f(x);
if(y*y1>0)
{
y1=y;
x1=x;
}
else
x2=x;
}while(fabs(y)>1e-4);
return(x);
}
建议你看看c 语言教程，上面讲得很详细噢。
迭代、分形和混沌
答：5.1.1 牛顿迭代与分形 非线性迭代的最基本方法是牛顿迭代法。也就是说,将函数展成台劳级数,略去高次项,从一次项中提出修改增量和Jacobian矩阵,构成线性方程组。牛顿迭代法收敛很快,但是收敛取决于初始猜测。 1988年,Petigen与Saupe的论文集中发表了一个有趣的试验结果,他考虑以下简单的非线性方程 z3-1=0 (5.1...
如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法求开方
答：五次及以上多项式方程没有根式解（就是没有像二次方程那样的万能公式），这个是被伽罗瓦用群论做出的最著名的结论。但是，没有王屠夫难道非得吃带毛猪？工作生活中还是有诸多求解高次方程的真实需求（比如行星的轨道计算，往往就是涉及到很复杂的高次方程），这日子可怎么过下去啊？要讲牛顿迭代法之前...
谁能分别为牛顿迭代法和二次迭代法举个例子?
答：f(x1)）做曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2=x1-f(x1)/f'(x1)称x2为r的二次近似值，重复以上过程，得r的近似值序列{Xn},其中Xn+1=Xn-f(Xn)/f'(Xn),称为r的n+1次近似值。上式称为牛顿迭代公式。参考资料：http://baike.baidu.com/view/643093.html?wtp=tt ...
什么是牛顿迭代法的收敛阶?
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迭代和牛顿迭代的区别
答：2、根据查询相关公开信息显示，牛顿迭代法（Newton'smethod）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphsonmethod），是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数...
tan x = -0.2x 求解 用迭代法说明。求帮助!
答：迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代法又分为精确迭代和近似迭代。“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。题目中，左边x用度，右边x只能用弧度。按步骤 ...
c语言用迭代法编程求近似根
答：不动点的定义，设X是一个集合，T 是X到X的自映射，如果存在一个x0属于X，使得Tx0=x0，则称x0为映射T的一个不动点。不动点迭代，Tx=x 即将Tx的 n-1 次方作为变量带入，得到n次方 include<stdio.h>#include<math.h>double between = 0.0;//确定内存足够double diedai(double x,double ...
牛顿迭代法和二分法的区别是什么?
答：二分法和牛顿迭代法的区别是牛顿迭代法不能收敛，但是大多数情况下它效果都非常好。二分法固定每次缩短一半的区间，而牛顿迭代法的迭代效率往往更高。1、二分法的本质就是查找空间折半，至于函数递增或者是数组当中元素递增都只是表象，只是我们进行折半的条件。换句话说如果我们能找到其他的条件来折半搜索空间...
求用MATLAB编制方程求根的二分法和Newton法的 Matlab 程序!!!谢谢...
答：f=[4*cos(x3)+4*sin(x3)+0.5*x3] disp(['迭代次数：',num2str(ii),'次'])牛顿迭代法求解:在方程f(x)=0有实数根的情况下，若能够将方程等价地转化成x=g(x)的形式，然后取一个初始值x0代入x=g(x)的右端，算得x1=g(x0)，再计算x2=g(x1)，这样依次类推 x(k+1)=g(x(k)...
牛顿的方法论原理是什么呢?
答：…。一般地说，从结果到原因，从特殊原因到普遍原因，一直论证到最普遍的原因为止，这就是分析的方法；而综合的方法则假定原因已找到，并且已经把它们定为原理，再用这些原理去解释由它们发生的现象，并证明这些解释的正确性”。③归纳，演绎方法。上述分析一综合法与归纳一演绎法是相互结合的。牛顿从观察...
