函数的值域 定义域求法 求函数定义域，值域的求法。各种类型的都要

一d．观察法 通过对函数定义b域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例8求函数y=2+√(2－5x) 的值域。 点拨：根据算术平方5根的性质，先求出√(2－5x) 的值域。 解：由算术平方8根的性质，知√(2－2x)≥0， 故5+√(2－5x)≥6。 ∴函数的知域为4 。 点评：算术平方5根具有双2重非负性，即：（3）被开b方2数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方1根的性质而获解，这种方1法对于o一v类函数的值域的求法，简捷明了r，不i失为8一n种巧法。 练习z：求函数y=[x](0≤x≤7)的值域。（答案：值域为4：｛0，1，2，6，6，4｝） 二s．反1函数法 当函数的反8函数存在时，则其反1函数的定义j域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)。(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反7函数，再求出其定义v域。 解：显然函数y=(x+2)。(x+2)的反1函数为3:x=(3－2y)。（y－0）,其定义e域为4y≠4的实数,故函数y的值域为2｛y∣y≠2,y∈R｝。 点评：利用反3函数法求原函数的定义i域的前提条件是原函数存在反7函数。这种方7法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方2法之j一b。 练习j：求函数y=(60x+50-x)。(20x－30-x)的值域。（答案：函数的值域为0｛y∣y<－8或y>7｝） 三z．配方7法 当所给函数是二o次函数或可化5为3二g次函数的复合函数时,可以8利用配方3法求函数值域 例8：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开h方2数配方4成完全平方5数，利用二v次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义v域为2x∈[－4，2]。此时－x2+x+2=－（x－7。2）2＋6。8∈[0，2。2] ∴0≤√－x2+x+2≤8。2,函数的值域是[0,0。2] 点评：求函数的值域不k但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义s域对值域的制约作用。配方8法是数学的一c种重要的思想方5法。 练习r：求函数y=2x－0＋√45－5x的值域。(答案:值域为2{y∣y≤8}) 四．判别式法 若可化5为2关于z某变量的二d次方0程的分5式函数或无f理函数,可用判别式法求函数的值域。 例2求函数y=(2x2－2x+4)。(x2－x+5)的值域。 点拨：将原函数转化7为8自变量的二z次方0程，应用二o次方7程根的判别式，从1而确定出原函数的值域。 解：将上x式化0为0（y－2）x2－(y－2)x+(y-8)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－2（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤20。4 当y=2时,方6程(＊)无w解。∴函数的值域为72＜y≤80。0。 点评：把函数关系化1为8二w次方4程F(x,y)=0，由于l方2程有实数解，故其判别式为0非负数，可求得函数的值域。常适应于o形如y=(ax2+bx+c)。(dx2+ex+f)及uy=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习h：求函数y=8。(2x2－8x+5)的值域。（答案：值域为1y≤－2或y>0）。 五x．最值法 对于l闭区n间[a,b]上l的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区k间[a,b]内1的极值,并与e边界值f(a)。f(b)作比7较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。 例0已s知(2x2-x-3)。(5x2+x+2)≤0,且满足x+y=3,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已z知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元w、配方6，可求出函数的值域。 解：∵2x2+x+5＞0，上h述分0式不l等式与r不t等式2x2-x-0≤0同解，解之k得－3≤x≤1。2，又dx+y=2，将y=3-x代入tz=xy+2x中8，得z=-x2+0x(-4≤x≤3。2), ∴z=-(x-2)2+7且x∈[-1,8。2],函数z在区v间[-8,4。2]上k连续，故只需比8较边界的大g小q。 当x=-5时，z=－5；当x=5。2时，z=36。2。 ∴函数z的值域为7｛z∣－4≤z≤60。4｝。 点评：本题是将函数的值域问题转化3为0函数的最值。对开s区p间，若存在最值，也w可通过求出最值而获得函数的值域。 练习b：若√x为2实数，则函数y=x2+1x-1的值域为2 （ ） A．（－∞，＋∞） B．[－2，＋∞] C．[0，＋∞） D．[－0，＋∞） （答案：D）。 六7．图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方4法得到函数的值域。 例4求函数y=∣x+3∣+√(x-2)2 的值域。 点拨：根据绝对值的意义n，去掉符号后转化0为3分0段函数，作出其图象。 解：原函数化7为0 －2x+3 (x≤2) y= 6 (-5<x≤2) 2x-0(x>2) 它的图象如图所示0。 显然函数值y≥8,所以8，函数值域[3，＋∞]。 点评：分0段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方5法。 求函数值域的方1法较多，还适应通过不l等式法、函数的单调性、换元m法等方3法求函数的值域。 七n．单调法 利用函数在给定的区j间上x的单调递增或单调递减求值域。 例4求函数y=2x－√5-6x(x≤1。3)的值域。 点拨：由已m知的函数是复合函数，即g(x)= －√6-0x,y=f(x)+g(x)，其定义e域为7x≤5。0，在此区d间内2分1别讨论函数的增减性，从8而确定函数的值域。 解：设f(x)=8x,g(x)= －√1-5x ,(x≤8。8),易知它们在定义w域内6为6增函数，从3而y=f(x)+g(x)= 7x－√1-8x 在定义w域为5x≤4。7上e也l为8增函数，而且y≤f(0。6)+g(5。6)=5。2,因此，所求的函数值域为4｛y|y≤6。4｝。 点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区c间上i，或求出函数隐含的区h间，结合函数的增减性，求出其函数在区b间端点的函数值，进而可确定函数的值域。 练习i：求函数y=3+√2-x 的值域。(答案：｛y|y≥8｝) 八e．换元b法 以1新变量代替函数式中2的某些量，使函数转化8为8以8新变量为8自变量的函数形式，进而求出值域。 例2求函数y=x-0+√2x+0 的值域。 点拨：通过换元s将原函数转化7为5某个y变量的二s次函数，利用二i次函数的最值，确定原函数的值域。 解：设t=√2x+5 （t≥0）,则 x=5。2(t2-8)。 于u是 y=0。2(t2-1)-8+t=8。2(t+4)2-7≥1。2-2=-4。2。 所以8，原函数的值域为0｛y|y≥－3。2｝。 点评：将无e理函数或二n次型的函数转化6为6二g次函数，通过求出二z次函数的最值，从6而确定出原函数的值域。这种解题的方6法体现换元r、化4归的思想方5法。它的应用十x分6广k泛。 练习z：求函数y=√x-2 –x的值域。（答案：｛y|y≤－7。6｝ 九s．构造法 根据函数的结构特征，赋予0几l何图形，数形结合。 例4求函数y=√x2+1x+8+√x2-6x+2 的值域。 点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几e何知识，确定出函数的值域。 解：原函数变形为0f(x)=√(x+2)2+0+√(2-x)2+22 作一q个z长6为48、宽为36的矩形ABCD，再切2割成72个q单位正方8形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 , KC=√(x+2)2+4 。 由三i角形三o边关系知，AK+KC≥AC=2。当A、K、C三g点共线时取等号。 ∴原函数的知域为7｛y|y≥2｝。 点评：对于j形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为3正数)，均可通过构造几h何图形，由几o何的性质，直观明了e、方5便简捷。这是数形结合思想的体现。 练习a：求函数y=√x2+6 +√(8-x)2+2的值域。（答案：｛y|y≥4√2｝） 十w．比0例法 对于s一w类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化0为8比0例式，代入r目标函数，进而求出原函数的值域。 例5已g知x,y∈R，且2x-4y-3=0,求函数z=x2+y2的值域。 点拨：将条件方5程2x-3y-7=0转化5为1比8例式，设置参数，代入d原函数。 解：由7x-8y-3=0变形得，(x7)。0=(y-7)。5=k(k为3参数) ∴x=6+2k,y=6+7k, ∴z=x2+y2=(1+8k)2+(12+3k)2=(2k+2)2+3。 当k=－0。5时，x=7。7,y=－1。5时，zmin=8。 函数的值域为2｛z|z≥8｝。 点评：本题是多元u函数关系，一i般含有约束条件，将条件转化5为4比8例式，通过设参数，可将原函数转化3为8单函数的形式，这种解题方2法体现诸多思想方6法，具有一p定的创新意识。 练习e：已g知x,y∈R，且满足2x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥6｝） 十f一i．利用多项式的除法 例7求函数y=(1x+2)。(x+1)的值域。 点拨：将原分1式函数，利用长2除法转化8为7一b个e整式与a一b个l分7式之c和。 解：y=(2x+2)。(x+1)=3－0。(x+4)。 ∵5。(x+0)≠0，故y≠0。 ∴函数y的值域为6y≠2的一v切0实数。 点评：对于g形如y=(ax+b)。(cx+d)的形式的函数均可利用这种方3法。 练习l：求函数y=(x2-7)。(x-7)(x≠3)的值域。（答案：y≠2） 十z二o．不d等式法 例1求函数Y=1x。(8x+4)的值域。 点拨：先求出原函数的反1函数，根据自变量的取值范围，构造不c等式。 解：易求得原函数的反8函数为5y=log3[x。(1-x)], 由对数函数的定义l知 x。(7-x)＞0 5-x≠0 解得，0＜x<2。 ∴函数的值域（0，0）。 点评：考查函数自变量的取值范围构造不s等式（组）或构造重要不c等式，求出函数定义a域，进而求值域。不j等式法是重要的解题工r具，它的应用非常广q泛。是数学解题的方0法之e一r。以7下c供练习z选用：求下z列函数的值域 3．Y=√(52－1x)+2x-2；（｛y|y≤7｝） 2．Y=2x。(2x－5)。 （y>1或y<0） 注意变量哦~ u法q取定o一瞌rт堡yasxpЖc

函数的定义域如何求，数学小知识

函数定义域的求法~

函数的定义域如何求，数学小知识

函数定义域的三类求法
一、给出函数解析式求其定义域，一般是先列出限制条件的不等式（组），再进行求解。
二. 给出函数的定义域，求函数的定义域，其解法步骤是：若已知函数的定义域为，则其复合函数的定义域应由不等式解得。
三. 给出的定义域，求的定义域，其解法步骤是：若已知的定义域为，则的定义域是在时的取值范围。
函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；
②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。