已知连续函数f(x)在(a,b]上单调递增，F(x)=∫(上x,下a)f(t)dt/(x-a),证明F(x)在(a,b]上也单调递增。
(注：过程中如果有积分的话上限都是x，下限都是a)
证：对F(x)求导得：F'(x)=[f(x)(x-a)-∫f(t)dt]/(x-a)²
由积分中值定理可知，存在a<ξ<x，使得∫f(t)dt=f(ξ)(x-a)
于是F'(x)=[f(x)(x-a)-f(ξ)(x-a)]/(x-a)²=[f(x)-f(ξ)]/(x-a)
又因为f(x)在(a,b]上单调递增，所以f(x)>f(ξ),而显然x>a
所以：F'(x)=[f(x)-f(ξ)]/(x-a)>0
所以F(x)在(a,b]上也单调递增。
证毕.
事实上，对于任意的y>x>=a，我们有f(y)>=f(x)>=f(a)，那么
F(y)-F(x)=
∫(上y,下a)f(t)dt/(y-a)-∫(上x,下a)f(t)dt/(x-a)
={(x-a)*∫(上y,下a)f(t)dt-(y-a)*∫(上x,下a)f(t)dt}/(x-a)(y-a)
分母=(x-a)(y-a)大于零；
分子=(x-a)*∫(上y,下a)f(t)dt-(y-a)*∫(上x,下a)f(t)dt
=(x-a)*∫(上x,下a)f(t)dt + (x-a)*∫(上y,下x)f(t)dt - (y-a)*∫(上x,下a)f(t)dt
= (x-a)*∫(上y,下x)f(t)dt - (y-x)*∫(上x,下a)f(t)dt
>=(x-a)*(y-x)*f(x) - (y-x)*(x-a)*f(x) 【这是因为∫(上y,下x)f(t)dt >= (y-x)*f(x)，等等】
=0
故而F(y)>=F(x)，当y>x>=a时.
希望能够帮到你~~
首先 f连续，那么F就是可导的
F'(x)=f(x)/(x-a)-∫(上x,下a)f(t)dt/(x-a)^2
F'(x)=∫(上x,下a)f(x)dt/(x-a)^2-∫(上x,下a)f(t)dt/(x-a)^2
F'(x)=∫(上x,下a)[f(x)-f(t)]dt/(x-a)^2
f(x)-f(t)≥0当t∈(a,x]
所以F‘(x)≥0
用罗比达法则，上下分别对X求导，F'(x)=f(x)-f(a),由于f(x)单调增，所以得到结论。
设函数f(x)=-x^2+x（1）证明f(x)在（-∞，1/2）上单调递增函数~
设x1<x2<1/2，则x1-x2<0，x1+x2<1，x1+x2-1<0
f(x1)-f(x2)=-x1^2+x1+x2^2-x2
=-(x1-x2)(x1+x2)+(x1-x2)
=-(x1-x2)(x1+x2-1)<0
即f(x1)<f(x2)
所以f(x)在(-∞，1/2)上单调递增函数
（1）当a=1时，f(x)=x+1/x+2
设-2＜x1＜x2，∴f(x1)-f(x2)=x1-x2/(x1+2)(x2+2)
∵-2＜x1＜x2，x1＜x2∴（x1+2)(x2+2)＞0，x1-x2＜0
即f(x1)-f(x2)<0
∴a=1时，f(x)在(-2,+∞)上为单调递增函数
（2）f(x)=a+(1-2a)/(x+2)
则f在（-1,2)上单调
当1-2a1/2时，f单调增
则f(-1)=-3/4,f(2)=3
1-a=-3/4,(2a+1)/4=3无解
当1-2a>0即a<1/2时，f单调减
则f(-1)=3,f(2)=-3/4
解得a=-2
设函数y=f(x)在区间【a,b】上是连续的,且f(a)f(b)<0,
答：答：y=f(x)在区间[a,b]上连续，f(a)f(b)<0 f(x)在该区间上存在零点 x0=(a+b)/2即x0是点x=a和x=b的中点 f(a)f(x0)<0 1）如果f(a)>0，则f(b)<0并且f(x0)<0 所以：零点应该在[a，x0]内 2）如果f(a)<0，则f(b)>0并且f(x0)>0 所以：零点应该在[a，x0]...
设函数f(x)在【a,b】上连续,这是什么意思呀
答：就是说，在【a,b】中的两个数x1,x2，其中y1=f(x1)，y2=f(x2)，只要x1，x2充分地接近，则y1和y2就充分地接近
判断 若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)必在[a,b]上有界
答：解：正确的 若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)必在[a,b]上有界 这个是有界性定理的内容。证明见课本。
函数f(x)在[a,b],在(a,b)内可导,则必存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=
答：罗尔定理的证明：根据 f是闭区间 [a,b] 上连续函数的性质，由极值定理得在 [a,b] 上有最大值（M）和最小值（m）⒈如果M=m，此时f(x）在[a,b]上恒为常数，结论显然成立。⒉如果M>m，由条件f(a)=f(b)知，两个数M，m中至少有一个不等于端点的函数值f(a)=f(b)，不妨设M≠f(...
函数f(x) 在[a,b]上连续, 在(a,b)内有唯一极值点,且为极大值点x0,则...
答：最大值必为f(x0),否则若最大值在端点的话则在x0与端点间必有其它极值点。
设函数f(x)在[a,b]上连续
答：1、如果f（c）=f（d）那么令ξ=c（或ξ=d也可以），这时候g（ξ）=g（c）=2f（c）-f（c）-f（d）因为f（c）=f（d），所以g（ξ）=0 所以2f（ξ）=f（c）+f（d）而ξ=c∈（a，b）区间，满足要求 2、如果f（c）＞f（d）那么在闭区间[c，d]上，有g（x）是连续的 g（...
函数f(x)在区间[a,b]上连续是f(x)可积的( )条件
答：连续是可积的充分非必要条件。因为在区间上连续就一定有原函数,根据N-L公式得定积分存在。反之,函数可。
设函数f(x)在(a,b)内连续,a<x1<x2<b,证明在(x1,x2)内至少有一点c,使得...
答：因为 f(x) 在（a，b）内连续，因此 f(x) 在 [x1，x2] 同连续 ，考察函数 g(x)=2f(x)-[f(x1)+f(x2)] ，由于 g(x1)=f(x1)-f(x2) ，g(x2)=f(x2)-f(x1) ，因此 g(x1)*g(x2)<=0 ，由介值定理，存在 c∈(x1，x2) 使 g(c)=0 ，即 f(x1)+f(x2)=2f(c...
设函数f(x)在(a,b)内连续,且f(a+),f(b-)存在证明函数f(x)在(a,b...
答：简单分析一下，详情如图所示
设函数f(x)在[a,b]上连续,∫[a,b]f(x)dx=∫ [a,b]xf(x)dx=0
答：只需考虑f是非零函数的情况即可。首先，f在(a b)上必有变号点，否则f恒大于0或恒小于0，积分为0意味着f恒等于0，矛盾。其次，若f在(a b)上只有一个变号点x0，考虑g(x)=(x-x0)f(x)，则g(x)不变号，且g(x)=xf(x)-x0*f(x)的积分值为0，于是g(x)恒等于0，矛盾。
