对泰斯公式及有关问题的讨论 有关一元一次方应用题电话计费问题（分类讨论）例题和答案

1.泰斯公式反映的降深变化规律

将式（4-1）改为无量纲降深形式：

地下水动力学

并绘如图4-3所示曲线。

图4-3 无量纲降深与u函数关系曲线

1）图4-3表明，同一时刻（t固定）随r增大s变小。当r→∞时s→0，与假设条件相符。

2）当r固定时，t增加s增大，当t为0时，s为0，符合实际情况。随t增加漏斗逐渐向外扩展，这恰恰反映了当含水层无外界补给时抽水完全消耗的是储存量。

3）从式（4-1）或式（4-4）中看出，同一时刻，r相同的地点其水位降低（s）相同。这说明抽水后形成的等水头线是一些以井轴为圆心的同心圆。当u=0.05时，由式（4-4）得方程：

地下水动力学

2.泰斯公式反映的水头下降速度的变化规律

将式（4-1）对t求导数得：

地下水动力学

式（4-6）表明：①当t不变时r↑，u↑，e^-u↓，

↓；②当r一定时t↑，u→0，e^-u→1，

↓。也就是抽水初期，随r增加，u增加，e^-u减小。因此，近处水头下降速度大，而远处水头下降速度

小。而当r一定时，由式（4-7）可看出，不同时刻的

（水头下降速度）由

和e^-u两个因素起作用，所以水头下降速度不是t的单调函数，如图4-4所示。

图4-4 承压含水层中的降深

s-t曲线不是沿同一斜率变化而是存在拐点，拐点的位置可利用

求得。

由上式知

，拐点出现的时间为：

地下水动力学

式（4-8）表明不同断面处拐点出现的时间不同。

图4-4表明，每个断面的水头下降速度初期由小到最大，然后由大变小最后趋于等速下降。

拐点处的降深（s_i）计算：将式（4-8）代入式（4-1）得：

地下水动力学

由式（4-9）可看出，s_i与r无关，说明任一断面都经历着一个相同过程，当s=s_i时，出现最大降速，即

地下水动力学

当抽水时间足够长时，

（即u＜0.0，e^-u=0.99≈1）时，式（4-7）可改为：

地下水动力学

即当抽水时间足够长时下降速度与r无关，在一定的范围内产生的降幅大致相同。

3.泰斯公式所表达的流量与渗流速度变化规律

（1）流量变化规律

将式（4-1）对r求导数得：

地下水动力学

地下水动力学

r处过水断面流量为：

地下水动力学

将式（4-11）代入得：

地下水动力学

式（4-12）表明，通常抽水井的流量（Q）＞r断面处的流量Q_r，当r→0时，Q=Q_r

从式（4-12）看出，当r不同时其流量（Q_r）也不同，r减小流量增加，这与稳定流不同。它反映出地下水流向抽水井的过程中得到储存量的补给。

当

时，Q=Q_r

（2）渗流速度变化规律

由式（4-11）可知抽水时地下水的渗流速度（V）为：

地下水动力学

式中负号表明速度与r的正方向相反。

抽水达稳定时，上式中

为抽水达到稳定时的渗透速度。随着时间增加u值逐渐趋于1。

地下水动力学

（3）相对稳定（似稳定）状态（当u=0.01时）

这时r处稳定出现的时间为：

地下水动力学

4.关于“影响半径”的问题

泰斯公式不包含“影响半径”（R）的概念。在无限延伸的无越流补给的承压含水层中是不存在“影响半径”的。

1）将式（4-4）改为：

，与裘布依公式相比，可将影响半径定义为：

地下水动力学

2）经长时间抽水后，当

时，由式（4-4）可得某时刻与r₁和r₂对应的s₁和s₂：

地下水动力学

将两式相减得

，与式（3-6）所示稳定流的公式相同。

3）当r₁=r_w，r₂=r时得式（3-5），说明在无越流补给且侧向无限延伸的承压含水层中抽水时随抽水时间的延长，在井的周围地下水侧压水头变化趋于缓慢，接近稳定状态，其降落漏斗形态与稳定流时相同，但这并不意味着水头降落已达稳定。

5.关于假设井半径r_w→0和天然水力坡度为零的问题

1）关于r_w→0的问题：当r_w→0时井可视为汇点或源点，不必考虑井筒中的水量。由式（4-11）看出，

，将两端同取极限，并记为limr_w→0。

，这与单井定流量承压完整井流的数学模型中的内边界条件相一致。

2）关于J=0的问题：在推导泰斯公式时曾假设抽水前的地下水位为水平的，而事实上J值很小，在平原地区，J=n/1000～n/10000。因此泰斯公式是可信的。

利用泰斯公式确定水文地质参数常用的方法~

泰斯公式既可以用于预测，也可以用于求水文地质参数。当参数已知时，可以进行水位预测或在允许降深的条件下预测井的涌水量。现仅介绍几种常用的水文地质参数求取方法。
（一）配线法
1.原理
对式（4-1）和式（4-2）两端取对数：

地下水动力学

上式右端的第二项在同一次抽水试验中为常数。因此，对于定流量抽水，在同一双对数坐标系中， 曲线与标准曲线 在形状上应是一样的，只是坐标在纵横方向上产生了 和 位移。将两曲线拟合，任取一匹配点，并记下其对应坐标值，代入式（4-1）及式（4-2）即可求参数。这种方法称降深-时间距离法。同理还有降深-时间法、降深-距离法。
1）降深-时间距离配线法：在双对数的坐标上绘定s-t/r2曲线，该曲线的形状与 标准曲线相同。因此，保证两坐标彼此平行并使两线重合，在曲线上或曲线以外任选一匹配点，记下对应坐标，带入上式即可求取参数。
2）降深-时间配线法：利用观测孔不同时刻的降深值绘制s-t曲线并与W（u） 标准曲线拟合；取一匹配点，并记下坐标值［s］，［t］，［W（u）］， ，将这些值带入式（4-1）可求参数。
3）降深-距离配线法：当有3个以上观测孔的实际资料时，可取t为定值绘制s-r2曲线并与 标准曲线拟合；取匹配点记下坐标［s］，［r2］，W（u）］， ，带入上式求参数。
2.计算步骤
现仅讨论降深-时间距离配线法的计算步骤。
1）在双对数坐标纸上绘制 标准曲线（附图1）；
2）在另一张同模数透明坐标纸上绘s-t/r2曲线；
3）在保持对应坐标平行的条件下使两曲线重合，如图4-5所示。

图4-5 降深-时间距离配线法

4）在曲线上或曲线外取匹配点，记下点的对应坐标：［s］，［t］，或［t/r2］，［W（u）］， ，将这些值带入式（4-1）和式（4-2）分别计算参数。
导水系数 ；储水系数
该方法的优点是可提高计算精度，缺点是：抽水时间不能过短；对是否拟合不同的人判断可能不同，可能影响精度。因此要求：实测曲线应出现弯曲以便拟合；在分析试验数据时应结合具体的水文地质条件，判断是否存在边界影响。
【例题4-1】承压含水层有观测孔抽水试验，稳定流量Q=60m3/h，4个观测孔的资料列入表4-2中，用配线法求参数。

表4-2 观测孔资料

解：为了比较全面地利用试验资料，选用降深-时间距离（s-t/r2）配线法求水文地质参数。
1）利用表4-2中资料计算s和t/r2值，并在同模数的透明双对数坐标纸上绘s-t/r2曲线。
2）在保持坐标彼此平行的条件下使s-t/r2曲线与 标准曲线拟合，见图4-6。

地下水动力学

3）在曲线内外取任意点并记下坐标：
［W（u）］=1， ，［s］=0.54，［t/r］=0.0025，代入式（4-1）和式2（4-2）：

地下水动力学

【例题4-2】根据例题4-1中观15孔资料，利用降深-时间配线法求水文地质参数。
其求解如下：
1）利用表4-2中资料，绘制s-t曲线，如图4-7所示；

图4-7 s-t配线法

2）将其与标准曲线 拟合，方法同上；
3）取匹配点并记下其坐标值：

地下水动力学

t=85min；
4）将上述坐标值代入式（4-1）和式（4-2），得：

地下水动力学

（二）雅各布直线图解法
1.当u＜0.01时，用式（4-4）求水文地质参数

地下水动力学

该式表明s与 呈直线关系， 为直线斜率。
2.用直线图解法求导水系数T
1）导水系数 ，式中i为直线斜率。
2）求储水系数μ*：直线在s=0时的截距为 ，将此值代入式（4-4）：

地下水动力学

以上是利用综合资料（多孔长时间观测资料）求参数，称为 直线图解法。同理，由式（4-4）可以看出，s-lgt，s-lgr同样呈直线关系，其直线斜率分别为 和 。
1）s-lgt关系曲线：当只有一个观测孔时，由上式可看出s-lgt呈直线关系，可用直线斜率求T，利用直线延长交于横坐标t0点，可求μ*。
2）s-lgr关系曲线：当有3个以上观测孔时，由式（4-4）可得s-lgr呈直线关系，直线斜率为 。由斜率求导水系数，再求储水系数。
直线图解法的优点是可避免配线法的随意性，但缺点是必须满足u＜0.01，最大为u＜0.05。因此，当r较小t较大时求得的T，μ*正确；因抽水时间短、直线斜率小、截距值小而导致所得T值偏大，使μ*值偏小。
【例题4-3】将例题4-1的资料用 直线图解法求水文地质参数。
解：1）由表4-2资料绘制 曲线，如图4-8；
2）将直线延伸交于s=0上截取 =0.00092；
3）求直线斜率i：取横坐标上一个周期相对应得降深值Δs，则i=Δs=1.36；
4）代入有关公式计算得：

地下水动力学

0.00092/1440=2.78×10-4

地下水动力学

（三）用水位恢复数据求参数
当抽水进行到tp时停止，观测恢复水位。那么，当t＞tp时刻剩余水位降深s′（原始水位与停抽后某时刻水位差）可看成是：
1）继续以Q定流量进行抽水到t时刻， ；
2）从tp到t，即t-tp=t′这一时段，以Q的流量进行注水。
将两者叠加则有：

地下水动力学

当 时，上式可改为：

地下水动力学

式（4-15）表明，s′与 呈直线关系，其直线斜率 。因此，利用水位恢复资料绘制 曲线，亦可求水文地质参数。
1）求含水层导水系数：
2）求含水层储水系数μ*：若已知停抽时刻的水位降深为sp，停抽后任一时刻水位上升值为s*，那么

地下水动力学

s*与 也呈直线关系，其斜率 。
将 代入sp
得

地下水动力学


地下水动力学

利用式（4-17）可得μ*=T/a。

1、应用题 第一类月租30元，0.12元一分钟 第二类无月租，0.32元一分钟 平均每月通话多少分?两种类型的收费标准一样多？
30+0.12x=0.32x
解方程得x=150

即平均每月通话150分钟持平
2、
某电信运营商有两种手机卡，A类卡收费标准如下：无月租，每通话1分钟交费0.6元；B类卡收费标准如下：月租费50元，每通话1分钟交费0.4元．
（1）分别写出A、B两类卡每月应缴费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系式；
（2）一个用户这个月预交话费200元，按A、B两类卡收费标准分别可以通话多长时间？
（3）若每月平均通话时间为300分钟，你选择哪类卡？
（4）根据一个月的通话时间，你认为选择哪项业务更实惠
1，B；y=50+0.4x A; y=0.6x
2，B类333.3分 A类375分
3，选择B类
4当一个月通话时间小于250分钟时B类卡更实惠，反之当一个月的通话时间大于250分时A类卡更实惠。

李云峰的学术及科研成果
答：46.泰斯公式性态分析与误差估计方法,煤田地质与勘探,1999年第4期,郭建青,李云峰,王洪胜,p38-42.47.西安地热田医疗热矿水的产出状况分析, 西安工程学院学报,1999年第21卷增刊,李云峰,郭建青,吴耀国,p71-73.48.一维河流水质方程解析解的性态讨论和误差估计方法,水文,1999.6,郭建青,李云峰,王洪胜。49.分析室内二维砂...

井流计算
答：T）；H为承压含水层初始水位（L）；K为含水层渗透系数（LT－1）。泰斯公式的应用条件看起来似乎难以满足，但实践证明，这并不影响公式的实用性。故泰斯公式被广泛用于解决地下水开采（或排水）、动态预报、水资源评价及矿坑涌水量预测等问题。在我国自20世纪70年代以来逐渐被推广应用。

考虑滞后疏干的博尔顿第二模型
答：3.讨论 1）当t相当小时（抽水初期），水位下降过程与越流承压含水层中水位下降过程相同，式（4-37）与式（4-24）两式的井函数差别在于：式（4-24）中B为越流因数，而式（4-37）中D为疏干因数。2）当t很大时（相当于抽水时间延续很长），定解问题的解与泰斯公式相当。此时的u值即 ，说明在...

给水度和渗透系数有什么联系和区别?
答：目前,分析计算给水度值的方法很多,但各种方法都有一定的假设和适用条件,有些方法在使用中还存在这样或者那样的问题,故在实际工作中,能够常用的方法亦不太多。 鉴于上述情况,根据灌区实际情况,采用地下水长观资料和灌区非稳定抽水试验相结合分析计算μ,利用地下水位动态资料及气象资料,依据阿维扬诺夫经验公式的假定,用...

文物成分分析有些方法,以及有何应用
答：解析解法 60年代以前，解含水层地下水的水头和流量问题，多偏重于解析解法。如“地下水动力学”课程中所述，无论是以稳定流为基础的裘布衣公式，还是以非稳定流为基础的泰斯公式，它们的推导都有许多假设，在水文地质条件满足这些假设时，当然没有问题。但要解决大范围的地下水系统计算时，由于水文地质...

李云峰的学术及科研成果?
答：46.泰斯公式性态分析与误差估计方法,煤田地质与勘探,1999年第4期,郭建青,李云峰,王洪胜,p38-42.47.西安地热田医疗热矿水的产出状况分析, 西安工程学院学报,1999年第21卷增刊,李云峰,郭建青,吴耀国,p71-73.48.一维河流水质方程解析解的性态讨论和误差估计方法,水文,1999.6,郭建青,李云峰,王洪胜。49.分析室内二维砂...

矿井涌水量预测方法
答：解析法最常用到的是井流方法。几个基本公式是：稳定流裘布依公式：水文地质学基础 水文地质学基础 非稳定流泰斯公式：水文地质学基础 水文地质学基础 对某一实际问题，是选择稳定流解析法还是非稳定流解析法，要根据具体的水文地质条件而定。矿井排水疏干含水层，一般应使用非稳定流方法。有时，充水岩层...