勾股定理在解决数学问题的重要作用 勾股定理的验证,应用,在解决数学问题的重要作用
勾股定理是中国几何的根源。中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系。勾股形与比率算法相结合，经推演变化已构成各种各样的测量法（如刘徽的“重差术”）。古代数学家常以勾股形代替一般三角形进行研究，从而可以避开角的性质的研讨和不触及平行的烦琐理论，使几何体系简洁明了，问题的解法更加精致。从中国勾股定理的诞生与发展来看，中国古代数学文化传统明显有重视应用、注重理论联系实际、数形结合，以算为主、善于把问题分门别类建立一套套算法体系的特征。然而中国的传统文化注重“经世致用”，思维方式具有“重实际而黜玄想”的务实精神，以及述而不作的研究方法，使得勾股定理从诞生开始一直没有超越直观经验和具体运算，而发展成一套完整的演绎推理，它始终作为一种技艺在传播与应用，走的是为了解决实际问题的模式化发展道路。这种技艺应用的价值取向至今仍影响着我们对数学的认识，影响着我们的数学教学。
在西方，从毕达哥拉斯学派发现了“与有理数不可通约的无理数”开始，勾股定理作为欧氏空间的度量标尺，经过演绎推理，为几何公理体系的完善和发展写下了新的篇章。欧几里得在证明勾股定理同时，结合图形分析，以演绎推理的方法获得了一系列的定理和推论。此后，西方数学家从数的角度将勾股定理推广到求不定方程的正整数解，引出了著名的费马猜想、鲍恩猜想、埃斯柯特猜想；从形的角度又把它推广到平面图形面积关系、立体图形的表面积关系的探讨。如此无穷延伸，在追求严谨的逻辑体系和数学美的过程中推动了现代数学的发展．这种崇尚理性、注重演绎推理的数学传统有着深厚的文化背景，从西方的基督教文化来看，它认为上帝是按数学来构造世界。这一观点足以表明数学教育在西方文化中的宗教和哲学价值取向的理性地位，这对我们今天学习数学，理解现代数学体系结构的形成有着重要的启示作用。
2 现代勾股定理教学设计
中、西方在不同的文化背景下所诞生的勾股定理及其发展道路，给我们的启发是在继承传统文化精髓的同时必须改变传统数学价值观，才能学好西方数学公理化体系，走上数学教育现代化的道路。为此，我们必须设计出符合自身文化传统习惯的课堂教学模式。以勾股定理教学为例，笔者认为可以从以下几个环节进行教学设计。
2.1 从文化传统习惯入手，利用现代化教学手段进行数学实验
请学生自己画出几个直角三角形，利用直尺测量三条边长，并记录数据，计算边长的平方值，分析它们的关系，引导学生通过计算发现勾股定理。测量和计算是我们民族文化传统的特长，是古人发现问题、解决问题常用的思路，也是我们学生很熟悉的学习方法。从几个学生构造的特殊例子出发，利用测量工具进行估算，寻找规律，提出猜想，符合我们的文化传统习惯，符合从特殊到一般的思维规律，容易发挥学生的主体积极性。
利用几何画板软件设计任一直角三角形，自动测量三边边长，验证学生的发现与猜想（图1）。
几何画板软件就其本身设计来说，是一种模式化的算法体系，用它来精确测量三角形的边长，展示直角三角形的任意性，是传统文化精髓与现代文明的新结合。它不仅是一种测量工具的改善，更是一个数学教育现代化的平台。此例所展示的直角三角形的任意性，是传统教学手段无法实现的一个梦想。而几何画板软件可以让学生操作计算机来构造数学对象，在观察动态的图形变化中，直观体验了任意性的含义，深人理解任意性在数学中所起的作用。同时计算机提供快速反馈测量结果，进行验证猜想的能力，使学生有更多的时间从事于更高层次的数学思维活动。这一典型实例足以表明计算机技术可以为文化传统与数学教育现代化的结合提供了好的教学平台。
2.2 比较赵爽证法和欧几里得证法，挖掘传统文化内涵
勾股定理的证明有着丰富无比的文化内涵，可以给学生许多启发，其中赵爽的弦图证法和欧几里得证法最为典型。赵爽弦图证法极富创意，他在《勾股圆方图注》中用几何方法严格证明了勾股定理，可以反映出我国几何研究不仅在应用方面有过辉煌成就，而且在理论方面也曾有一席之地。
赵爽的弦图证法：如图2(见人教版三年制初中《几何》第二册第106页第4题），其中每个直角三角形称为“朱实”，中间的一个正方形叫“中黄实”，以弦为边的正方形ABEF叫“弦实”。四个朱实加上一个黄实就等于一个弦实，即 ，化简后得 。
他充分运用了直角三角形易于移补的特点，给出了简洁、直观的证法，其相应的几何思想是图形经移、补、凑、合而面积不变，这种思想后来发展为李冶的“演段术”，不仅反映了我国传统文化中追求直观、实用的倾向，而且其展示的割补原理和数形结合的思想让我们看到我们传统文化的精髓，对我们继承和发扬传统文化起着潜移默化的熏陶作用。我们要安排足够的时间，让学生动手进行拼、凑、补等实践活动，深人理解割补原理，体会中国传统文化中寓理于算的风格。
而欧几里得证法给我们展示的是西方数学文化传统的另一侧面，即严谨的逻辑和理性的推理。具体的欧几里得证法如下：
在直角三角形ABC各边上向外作正方形（图3)，结连CD、FB。
因为AC＝AF, AB＝AD，∠FAB＝∠CAD，所以 。
作CL‖ AD。
因为 ，
，
所以 ．
同理可证 ．
所以 ，即 ．
比较赵爽证法和欧几里得证法可知，赵爽证法是建立在一种不证自明、形象直观的原理上，即“出人相补”原理。他的证明过程可以借助实物进行操作，使现实问题数学化，最终达到对数学定理的意义建构。而欧几里得证法则完全脱离实物的支撑，给我们展示的是对数学美和数学理性的追求。它在更高层次上使学生的思维得到锻炼。对这种证法的介绍，可以采用数学“再创造”原理，分析它的探索过程，使证明思路逐渐显露出来，最终完成对公理化演绎体系结构的深刻理解。
综上所述，我们可以从文化传统习惯人手，使用现代教育手段来继承和发扬传统文化，挖掘传统文化内涵，实现数学教育现代化。
在我国，至今可查的有关勾股定理的最早记载，是大约公元前1世纪前后成书的《周髀算经》，其中有一段公元前1千多年前的对话：“昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度．请问数安从出？商高曰：数之法，出于圆方．圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一．故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五．”
《周髀算经》中还有“陈子测日”的记载：根据勾股定理，周子可以测出日高及日远．例如，当求得了日高及测得了测量人所在位置到日下点的距离之后，计算日远的方法是：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股自乘，并开方而除之，得邪至日者．”
《周髀算经》是我国流传至今的一部最早的数学著作．书中主要讲述了学习数学的方法以及用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等．在唐代，《周髀算经》与其他九部陆续出现在我国汉唐两代千余年间的数学著作一起，被国子监算学馆定为课本，后世通称这十本书为《算经十书》．《算经十书》较全面地反映了自先秦至唐初我国的数学成就．其中许多书中都涉及到了勾股定理的内容，尤其《九章算术》（《算经十书》之一）第九章“勾股”专门讲解有关直角三角形的理论，所讨论的主要内容就是勾股定理及其应用．该章共有设问24题，提出22术．其中第6题是有名的“引葭赴岸”：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”这是一个流传甚广的题目，类似题目一再在其他书中出现，例如成书于5世纪中叶的《张邱建算经》（《算经十书》之一）、朱世杰所著的《四元玉鉴》（1303年）等．
我们的先辈们还根据勾股定理发明了一种由互相垂直的勾尺和股尺构成的测量工具矩．如，《周髀算经》中记载了商高对用矩之道的论述：“平矩以正绳，偃矩以望高，复矩以测深，卧矩以知远．”又如，我国魏晋间杰出的数学家刘徽在他的名著《海岛算经》（《算经十书》之一）中共列出了9个有代表性的可用矩解决的测望问题，其中第4个问题是：“今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺，从勾端望谷底，入下股九尺一寸，又设重矩于上，其矩间相去三丈，更从勾端望谷底，入上股八尺五寸，问谷深几何．”
我国最早的关于勾股定理的证明，目前人们认为是汉代赵爽对《周髀算经》的注释．
我国古代的数学与古希腊的数学不大一样．实际上，我国数学的主要研究对象不是空间形式，而是数量关系；其理论形式不是逻辑演绎体系，而是以题解为中心的算法体系．与古希腊数学采取层层论证的思维方式不同，我国古代数学家的思维方式是以直觉思维为主，又以类比为发现和推论结果的主要手段．
对于勾股定理，我国古代的数学家没有把主要精力放在仅仅给出严格的逻辑推理证明上，也没有在不可通约量究竟是什么性质的数上面做文章，而是立足于对由此可以解决的一类实际问题算法的深入研究．通过在直角三角形范围内讨论与勾股定理、相似直角三角形性质定理有关的命题，他们推出了一种组合比率算法勾股术．勾股术把相似直角三角形的概念作为基本概念，把相似直角三角形的性质作为基本性质，使相似直角三角形之间的相似比率构成了勾股的核心．勾股术用比率表达相似勾股对应边成比例的原理，勾股整数和勾股两容（容圆、容方）问题的求解；建立了勾股测量的理论基础．后来，刘徽实际上把相似勾股形理论确定为勾股比率论，并明确提出了“不失本率原理”，又把这个原理与比例算法结合起来，去论证各种各样的勾股测量原理，从而为我国古代的勾股测望术建立了坚实的理论基础．
有的专家还提出：勾股定理在我国古代数学中占有十分重要的地位，千百年来逐渐形成了一门以勾股定理及其应用为核心的中国式的几何学.
我简单说点,免得说晕了`!已知两边求第三边(角度也是一样);还有三角形的面积问题,内切和外接圆的半径关系,
勾股定理在解决数学问题中的重要作用~
我总结了一下，其重要作用有：
1证明一个三角形是直角三角形
2用于直角三角形中的相关计算
3有利于你记住余弦定理，它是余弦定理的一种特殊情况
4它为世界的几何奠定了重要的基础．
5为我们生活建设提供了安全简便实用的作用．如，起楼’体育馆．
为了便于记忆恳请您看一下下面：
我国是最早了解勾股定理的国家之一早在三钱多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，，如果勾等于三，股等于四，那么弦就是五．
毕达哥拉斯(Pythagoras,572 BC?—497BC?)古希腊数学家、哲学家。无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学!最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。以后因为向往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养，大约在公元前530年又返回萨摩斯岛。后来又迁居意大利南部的克罗通，创建了自己的学派，一边从事教育，一边从事数学研究。
毕达哥拉斯和他的学派在数学上有很多创造，尤其对整数的变化规律感兴趣。例如，把(除其本身以外)全部因数之和等于本身的数称为完全数(如6，28， 496等)，而将本身大于其因数之和的数称为盈数；将小于其因数之和的数称为亏数。他们还发现了“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”，西方人称之为毕达哥拉斯定理，我国称为勾股定理。当今数学上又有“毕达哥拉斯三元数组”的概念，指的是可作为直角三角形三条边的三数组的集合。
在几何学方面，毕达哥拉斯学派证明了“三角形内角之和等于两个直角”的论断；研究了黄金分割；发现了正五角形和相似多边形的作法；还证明了正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
毕达哥拉斯学派认为数最崇高，最神秘，他们所讲的数是指整数。“数即万物”，也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。但是，有一个名叫希帕索斯的学生发现，边长为1的正方形，它的对角线(根2)却不能用整数之比来表达。这就触犯了这个学派的信条，于是规定了一条纪律：谁都不准泄露存在根2 (即无理数)的秘密。天真的希帕索斯无意中向别人谈到了他的发现，结果被杀害。但根2很快就引起了数学思想的大革命。科学史上把这件事称为“第一次数学危机”。希帕索期为根2殉难留下的教训是：科学是没有止境的，谁为科学划定禁区，谁就变成科学的敌人，最终被科学所埋葬。
可惜，朝气蓬勃的毕达哥拉斯，到了晚年不仅学术上趋向保守，而且政治上反对新生事物，最后死于非命。
验证就是你可以画出任一直角三角形再量出三边长度,看看是否符合已给公式A*A+B*B=C*C其中AB为两直边C为斜边.
应用就是1,在一些计算题中可以通过任意两边的长度求出另一边长度
2,证明题中,比如证两边长度相等时用到
作用很显然,就是可以不用直接测量或者在计算题中不用给出长度也可以通过公式求得想要结果.
勾股定理
答：中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。 勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带...
狗股定理是什么呀?
答：勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的...
勾股定理最初用于解决直角三角形的问题,对吗?
答：勾股定理被用于求解运动物体的速度、位移和加速度之间的关系。在工程学和建筑学中，勾股定理则被用于测量和设计斜面、坡度和抛物线等。总而言之，虽然勾股定理最初是针对直角三角形提出的，但它的应用范围远不止于此。通过推广和扩展，勾股定理可以用于解决各种几何形状和实际问题，丰富了数学的应用和意义。
《勾股定理》优秀说课稿
答：它在数学的发展中起过重要的作用,在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习,可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。 (二)教学目标知识与能力:掌握勾股定理,并能运用勾股定理解决一些简单实际问题。过程与方法:经历探索及验证勾股定理的过程,了解利用拼图验证勾股定理的方法,发展学生的...
《勾股定理》说课稿
答：从学生认知结构上看,它把形的特征转化成数量关系,架起了几何与代数之间的桥梁;勾股定理又是对学生进行爱国主义教育的良好素材,因此具有相当重要的地位和作用。 根据数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标:知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。其中情感态度方面,以我国数学文化为主线,激发学生热爱...
沟股定理公式
答：6、tanb=B/A，cotb=A/B，知道夹角b，直角边A与B任意一条长度，可以快速算出另外一条直角边长度。勾股定理的作用 1、解决几何问题：通过勾股定理，可以确定直角三角形中任意两边的长度，或者判断一个三角形是否为直角三角形。2、计算距离：勾股定理可以用于计算两点之间的直线距离。例如，在平面几何中，...
探索《勾股定理》说课稿
答：从学生认知结构上看,它把形的特征转化成数量关系,架起了几何与代数之间的桥梁;勾股定理又是对学生进行爱国主义教育的良好素材,因此具有相当重要的地位和作用。 根据数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标:知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。其中情感态度方面,以我国数学文化为主线,激发学生热爱...
北师版八上《勾股定理》说课稿
答：从学生认知结构上看,它把形的特征转化成数量关系,架起了几何与代数之间的桥梁;勾股定理又是对学生进行爱国主义教育的良好素材,因此具有相当重要的地位和作用。 根据数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标:知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。其中情感态度方面,以我国数学文化为主线,激发学生热爱...
勾股定理是初中几年级的知识点
答：勾股定理是初中八年级的知识点。
《勾股定理》说课稿
答：它在数学的发展中起过重要的作用,在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习,可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。 (二)教学目标 知识与能力:掌握勾股定理,并能运用勾股定理解决一些简单实际问题。 过程与方法:经历探索及验证勾股定理的过程,了解利用拼图验证勾股定理的方法,发展...
